Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Числовые характеристики нормального распределения.
Пусть случайная величина имеет нормальное распределение f (x)= e . Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: a и σ. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, σ - среднее квадратическое отклонение нормального распределения. а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины, M (ξ)= . Введем новую переменную z=(x-а)/σ. Отсюда x=σz+a, dx=σdz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим M (ξ)= σz + a) e dz = = ze dz + dz. Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно а (интеграл Пуассона dz = ). Итак, М (ξ) =а, то есть математическое ожидание нормального распределения равно параметру а. б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что М (ξ) =а, имеем D(ξ)= x-a)2 e dx Введем новую переменную z =(х — а)/σ. Отсюда х – a=σz, dx=σdz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим D (ξ)= ·ze dz Интегрируя по частям, положив u=z, dυ=ze dz, найдем D (ξ) =σ2. Следовательно, σ (ξ)= = =a. Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру σ. Определение. Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения: As = µ3 / σ3. Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания. Практически определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды (точки максимума дифференциальной функции): если «длинная часть» кривой расположена правее моды, то асимметрия положительна (рис.18а), если слева – отрицательна (рис.18б). Для оценки «крутости», то есть большего или меньшего подъема кривой теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой, пользуются характеристикой - эксцессом.
Определение. Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется равенством Ek=(µ4/σ4)–3.
Для нормального распределения µ4/σ4=3; следовательно, эксцесс равен нулю. Поэтому если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная кривая; если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая. При этом предполагается, что нормальное и теоретическое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.
§26. Свойства нормального распределения
Нормальное распределение с произвольными параметрами а и σ (σ >0). называют общим, его плотность имеет вид f (x)= e . Определение. Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а=0 и σ=1. Например, если ξ - нормальная величина с параметрами а и σ, то η= (ξ - а)/ σ - нормированная нормальная величина, причем M(η)=0, σ(η)=l. Плотность нормированного распределения f0 (x)= e . Для этой функции создана таблица значений. Замечание. Функция F (х) общего нормального распределения F (x) = а функция нормированного распределения F0 (x) = . Для функции F0 (x) создана таблица значений. Имеет место соотношение F (x) =F0 ((x-а)/ σ). Замечание. Вероятность попадания нормированной нормальной величины ξ в интервал (0;х) можно найти, пользуясь функцией Лапласа Ф (х)= . Действительно, P (0< ξ < x)= = = Ф (х). Замечание. Учитывая, что =1, и, следовательно, в силу симметрии φ (x) относительно нуля = 0,5, а значит, и Р(-∞<ξ<0)=0,5, легко получить, что F0(x)=0,5+Ф(х). Действительно, F0(x)=P(-∞<ξ<x)=Р(-∞<ξ<0)+Р(0<ξ<x)=0,5+Ф(х). Нормальная кривая. Определение. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Исследуем функцию y = e методами дифференциального исчисления.
Свойства нормальной кривой. Свойство 1. Очевидно, функция определена на всей оси x. Свойство 2. При всех значениях х функция принимает положительные значения, то есть нормальная кривая расположена над осью OX.
Свойство 3 Предел функции при неограниченном возрастании х (по абсолютной величине) равен нулю: y=0,то есть ось OX служит горизонтальной асимптотой графика. Свойство 4. Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную: y ´= e . Легко видеть, что у’ = 0 при х=а, у’ > 0 при х < а, у’ < 0 при х > а. Следовательно, при х=а функция имеет максимум, равный 1 /(σ ). Свойство 5. Разность х - а содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, то есть график функции симметричен относительно прямой х = а. Свойство 6. Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную: y ´´= e . Легко видеть, что при х=а+σ и х=а - σ вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак (в обеих этих точках значение функции равно 1 /(σ е)). Таким образом, точки графика (а - σ,1/(σ е)) и (а + σ, 1 /(σ е)) являются точками перегиба. Изобразим нормальную кривую при а=1 и σ=2.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-21; просмотров: 301; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.249.219 (0.016 с.) |