Перемещение, скорость и ускорение материальной точки.

Вектор D r = r — r ₀, проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени), называется перемещением.

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения |D r | равен пройденному пути D s.

 

Скорость

Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина — скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направ­ление в данный момент времени.

Вектором средней скорости <v> называется отношение приращения Dr радиу­са-вектора точки к промежутку времени D t:

(2.1)

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением Dr. При неог­раниченном уменьшении D t средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью v:

Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пре­деле совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траек­тории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшения D t путь D s все больше будет приближаться к |Dr|, поэтому модуль мгновенной скорости

Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:

(2.2)

При неравномерном движении — модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной á v ñ — средней скоро­стью неравномерного движения:

Из рис. 3 вытекает, что á v ñ> |ávñ|, так как D s > |Dr|, и только в случае прямолиней­ного движения

Если выражение d s = v d t (см. формулу (2.2)) проинтегрировать по времени в пре­делах от t до t + D t, то найдем длину пути, пройденного точкой за время D t:

(2.3)

В случае равномерного движения числовое значение мгновенной скорости постоянно; тогда выражение (2.3) примет вид

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t ₁ до t ₂, дается интегралом

 

§ 3. Ускорение и его составляющие

Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + D t называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Dv к интервалу вре­мени D t

Мгновенным ускорением а (ускорением) материальной точки в момент време­ни t будет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение a есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.