Взаимное расположение двух прямых.

Если прямые заданы своими общими уравнениями и , то условием пересечения этих прямых является:

,

условием совпадения этих прямых является:

,

условием параллельности этих прямых является:

,

условием перпендикулярности этих прямых является:

.

Если известны угловые коэффициенты прямых и , то условие параллельности этих прямых состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

,

а условие перпендикулярности:

,

т.е. угловые коэффициенты этих прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Угол между двумя прямыми.

Возьмем две прямые и ; уравнение пусть будет , где , а уравнение : , где (рис. 5).

Пусть – угол между прямыми и : .

Рис. 5

Из геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами и , . Отсюда:

,

или

. (3.11)

Расстояние от точки до прямой.

Чтобы найти расстояние от данной точки до данной прямой, надо уравнение прямой привести к общему виду, вместо текущих координат подставить в левую часть уравнения координаты данной точки и взять абсолютную величину полученного результата.

То есть: если уравнение прямой

,

точка имеет координаты , то расстояние от прямой до точки можно найти по формуле:

. (3.12)

Пример №1.

В треугольнике , заданном координатами своих вершин: , и . Найти: а) длину медианы , проведенной из вершины ; б) длину высоты , опущенной из вершины .

Решение: Сделаем схематический чертеж треугольника (рис. 6).

 

Рис.6

Сначала определим координаты точки , как точки, делящей отрезок пополам: , ; т.е. .

Длину медианы определим по формуле расстояния между двумя точками и :

.

Далее составим уравнение стороны , используя уравнение прямой, проходящей через две точки (3.9) и , а длину определим по формуле расстояния от точки до прямой (3.12):

; ; ;

.

Пример №2.

Даны прямые . Найти угол между ними.

Решение:

, . Тогда по формуле (3.11) находим:

.

Таким образом, угол между прямыми:

.

Пример №3.

Через точку пересечения прямых и проведена прямая перпендикулярно первой из данных прямых. Найти расстояние полученной прямой от начала координат.

Решение:

1. Находим точку пересечения прямых:

. Следовательно .

2. Найдем угловой коэффициент прямой, перпендикулярной к прямой . , , т.к. , то искомый угловой коэффициент .

3. Запишем уравнение искомой прямой: или ; .

4. Найдем расстояние полученной прямой от начала координат:

.

Пример №4.

Перевозка груза от данного города в первый пункт, находящийся на расстоянии 100 км, стоит 200 грн., а в другой, находящейся на расстоянии 400 км – стоит 350 грн. Найти стоимость перевозки на единицу расстояния и расходы, не связанные с расстоянием. Определить также стоимость перевозки груза на расстояние 875 км.

Решение.

Подставляя данные в уравнение , получим систему уравнений:

грн., грн. – ее решения.

Тогда стоимость перевозки на расстояние выражается уравнением:

.

В частности, стоимость перевозки на расстояние 875 км:

(грн.)