Уравнение прямой в отрезках на осях.

Задача.

Составить уравнение прямой, отсекающей на оси абсцисс отрезок величины , а на оси ординат – отрезок величины .

Решение.

Пусть данная прямая отсекает на оси абсцисс отрезок , а на оси ординат отрезок . Тогда координаты точки будут , а координаты точки будут (рис. 7).

 

Рис. 7

 

Составим уравнение данной прямой, как прямой, проходящей через две точки и . Подставляя координаты точек и в уравнение (3.9), получим:

или .

. (3.13)

Уравнение (3.13) называется уравнением прямой в отрезках на осях. В этом уравнении и – текущие координаты, и – параметры.

Замечание. Это уравнение удобно использовать для геометрического построения прямой откладывая на оси абсцисс отрезок, равный по величине , на оси ординат отрезок, равный по величине , и соединяя концы этих отрезков, получим искомую прямую.

Важнейшие кривые второго порядка

 

Эллипс.

Эллипсом ( рис8 ) называется множество точек, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная , большая, чем расстояние между фокусами .

 

Рис. 8

Каноническое уравнение эллипса, изображенного на рисунке 8, имеет вид:

, (3.14)

где .

Вершинами эллипса называются точки и , и пересечения эллипса с его осями симметрии (осями координат) отрезки и , длины которых соответственно равны и , называются большой и малой осями соответственно. Параметры и равны полуосям эллипса. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к его большей оси, т.е. . Очевидно, что .

Окружность – частный случай эллипса, при условии, что полуоси эллипса и равны между собой . Каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом имеет вид:

. (3.15)

Общее уравнение окружности имеет вид:

. (3.16)

Для определения координат центра и радиуса окружности, заданной общим уравнением, нужно с помощью тождественных преобразований уравнения (3.16) привести к виду (3.15)

Гипербола.

Гиперболой (рис.9) называется множество точек, абсолютная величина разности расстояний которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная , меньшая, чем расстояние между фокусами .

Рис. 9 (а)

 

Рис. 9 (б)

 

Каноническое уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 9(а) имеет вид:

. (3.17)

где .

Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс), она пересекается в двух точках и , называется вершинами гиперболы.

Отрезок – длиной называется действительной осью гиперболы, а отрезок длиной – мнимой осью. Параметры и равны полуосям гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к ее действительной оси, т.е. . Очевидно, что .

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых: .

Если мнимая ось гиперболы направлена по оси и имеет длину , действительная ось длиной направлена по оси , в соответствии с рисунком 9(б), то уравнение гиперболы имеет вид:

.

Эксцентриситет этой гиперболы . Ее асимптоты те же, что и у гиперболы на рисунке 9(а). Гиперболы, изображенные на рисунке 9, называются сопряженными. Если , то гипербола называется равносторонней.

Если оси координат совпадают с асимптотами равносторонней гиперболы рис. (9в), то ее уравнение в этой системе координат имеет вид:

. (3.18)

 

 

Рис. 9 (в)

 

Переменные величины и , связанные зависимостью (3.18), где – постоянное число, называются обратно пропорциональными.

3. Парабола. Парабола или .

 

Рис. 10 (а)

 

 

 

Рис. 10 (б)

 

Параболой называется множество точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой параболы.

Каноническое уравнение параболы, изображенной на рисунке 10:

а) ;

б) .

Величина , равная расстоянию от фокуса до директрисы, называется параметром параболы; прямая, проходящая через фокус параболы перпендикулярно ее директрисе, называется ее осью, а точка пересечения параболы с ее осью – вершиной параболы.

Пример №1.

Составить уравнение эллипса, зная, что он проходит через точки и .

Решение.

Возьмем каноническое уравнение эллипса и вместо текущих координат подставим сначала координаты точки , а затем координаты точки . Из получившейся системы уравнений:

определим параметры эллипса и .

Обозначив ; сведем данную систему к следующей системе:

,

решая ее, плучим, что , откуда .

Следовательно, искомое уравнение эллипса будет:

.

Пример №2.

Дано уравнение гиперболы . Найти длины ее осей, координаты фокусов, эксцентриситет, составить уравнение директрис и асимптот гиперболы.

Решение.

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду и определим как параметры гиперболы, так и расстояние от начала координат до фокуса:

или .

Откуда: .

.

Эксцентриситет .

Действительная ось: .

Мнимая ось: .

Уравнения директрис: .

Уравнения асимптот: .

Пример №3.

Две реки и следует соединить каналом. Река там, где должен проходить канал, имеет вид параболы , река – вид прямой линии . Соединяющий реки канал должен иметь наименьшую длину. Как его нужно проложить?

Решение.

Найдем уравнение касательной к кривой , параллельной прямой , у которой . Тогда ; – уравнение касательной. Определим из системы уравнений:

.

Так как точка касания единственная, то .

.

Уравнение касательной имеет вид: . Следовательно, координаты точки касания удовлетворяют системе уравнений:

.

– точка касания, ближайшая к реке (начало канала) (рис. 11).

 

Рис. 11

Канал должен быть направлен по нормали , уравнение которой:

или .

Из системы .

Находим .

Точка – конец канала.

 

 

ІV. Введение в анализ

 

Пусть каждому поставлено в соответствие некоторое действительное число: , то есть рассматривается функция натурального аргумента. В этом случае говорят, что задана последовательность вещественных чисел, которую записывают в строчку в порядке возрастания номеров:

или кратко:

 

Определение:

Число называется пределом последовательности , если для любого числа существует число такое, что при всех выполняется неравенство: .

 

Или кратко:

.

Обозначение: .

На геометрическом языке определение предела означает, что вне любой – окрестности точки содержится разве лишь конечное число членов последовательности . Это число, разумеется, зависит от .

 

Если последовательность имеет предел, то говорят что она сходится, в противном случае она расходится.

Если , то величина называется бесконечно малой. Величина, обратная бесконечно малой является бесконечно большой; обозначение: .

Свойства.

1. Алгебраическая сумма двух и более бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая.