Понятие предела функции, свойства.

Пусть функция задана на интервале , исключая возможно точку .

 

Определение:

Число называется пределом функции в точке , если для любого существует такое, что при всех , удовлетворяющих условию выполнено: .

Или кратко:

.

 

 

На геометрическом языке это определение означает, что – окрестности точки - окрестность точки такая, что образ проколотой – окрестности точки при отображении лежит в – окрестности точки .

Под проколотой - окрестностью точки понимают интервал , исключая саму точку , т.е. .

 

 

Определение:

Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если выполнено: .

Обозначение:

§ (для левостороннего предела);

§ (для правостороннего предела).

Практическое вычисление пределов основано на следующих теоремах:

1. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют правый и левый пределы и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

2. Арифметические действия над пределами:

Если и , то справедливы утверждения:

§ ;

§ ;

§ , при условии, что .

3. Первый замечательный предел:

. (4.1)

4. Второй замечательный предел:

или . (4.2)

 

Раскрытие некоторых видов неопределенностей.

Вычисление предела в каждом конкретном случае требует индивидуального подхода. Решение одних примеров сводится непосредственно к применению теорем о свойствах бесконечно малых, а в других необходимо избавиться от неопределенностей вида:

и др.

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Пример №1.

Вычислить: .

Решение.

Числитель и знаменатель дроби при стремится к нулю (принято говорить, что получается неопределенность вида ). Эту неопределенность создает множитель , называемый критическим. Необходимо от него избавиться путем алгебраических преобразований, т.е.:

;

т.е. .

Пример №2.

.

Решение.

Неопределенность типа . Домножим числитель дроби на сопряженное к нему выражение и разделим, чтобы дробь не изменилась. Имеем:

Пример №3.

Вычислить: .

Решение.

Используем замену переменной. Пусть , тогда и если , то , т.е. .

Пример перепишем в виде:

;

Пример №4.

Вычислить: .

Решение.

Вычислим, используя первый замечательный предел. Пусть , тогда . Если , то . Используя эту замену имеем:

.

Пример №5.

Вычислить: .

Решение.

Используя тригонометрическое преобразование имеем:

.

Пример №6.

Вычислить: (неопределенность ).

Решение.

Неопределенность раскрывается теми же методами, что и неопределенность . При достаточно больших величина числителя определяется главным образом членом , а роль остальных слагаемых тем незначительней, чем больше . В знаменателе при росте доминирующее значение приобретает слагаемое . Поэтому присутствие членов, содержащих , является причиной возникновения неопределенности . Если в числителе и знаменателе вынести множитель за скобки и сократить на него, то неопределенность исчезнет:

,

(т.к. есть бесконечно малые при ).

Замечание. Проведенные преобразования фактически сводятся к делению числителя и знаменателя дроби на старшую степень . К этому же примеру можно отнести замену переменной , при , .

Пример №7.

Вычислить: (неопределенность ).

Решение.

Используя тригонометрические преобразования, имеем:

.

Пример №8.

Вычислить: (неопределенность ).

Решение.

Для решения используем второй замечательный предел . Имеем:

 

Пример №9.

Вычислить: (неопределенность ).

Решение.