Технічний редактор О.І. Шелудько

Технічний редактор О.І. Шелудько

 

Зведений план – 2003 р., позиція №306

Підписано до друку “15” 05 2003 р. Формат 60/84^1/16

Папір друкарськ. Умовн. др.арк. – Тираж 164 прим.

Друк – різографія. Замовлення №

________________________________________________________________

Донецький державний університет економіки і торгівлі

Ім. М. Туган-Барановського

ВРЦ, ДонДУЕТ, м. Донецьк –50, вул. Щорса, 31, тел. [phone]

 

введение

 

В практической деятельности человека математика используется с момента своего зарождения. Долгое время развитие математики определялось в основном потребностями естественных и технических наук. И лишь последнее время математическое моделирование процессов и явлений постепенно проникло во все новые сферы научных знаний: физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки, в частности, экономику, социологию, политологию.

Построение рыночных отношений в экономике требует резкого повышения качества подготовки специалистов – выпускников высших учебных заведений.

Учитывая специфику учебного процесса студентов ускоренной формы обучения заочного отделения возникает необходимость в методической разработке по основным темам курса высшей математики, которая предназначена для теоретического и практического изучения.

Знания, полученные при изучении курса математики, являются базовыми, на которые опираются такие математические курсы, как теория вероятностей, математические методы исследования операций, а также ряда экономико-математических дисциплин, а также для изучения специальных дисциплин, таких как теоретическая и прикладная механика, сопротивление материалов и т.п.

В настоящей методической разработке рассматриваются следующие вопросы:

§ элементы линейной и векторной алгебры;

§ аналитической геометрии на плоскости;

§ пределы;

§ дифференциальное и интегральное исчисление;

§ дифференциальные уравнения.

Основная цель этого пособия – оказать помощь студентам-заочникам ускоренной формы обучения по специальности «Технология питания» в выполнении контрольной работы.

Выбор варианта осуществляется следующим образом: берем две последние цифры номера зачетной книжки, если число меньше или равно 35 то это Ваш вариант; если это число больше 35, то отнимаем от него число кратное 35 и получаем Ваш вариант.

Например: две последние цифры номера зачетной книжки 98, то , значит Ваш вариант: №28.

Работа, выполненная не по своему варианту, не зачитывается.

Правила оформление контрольной работы:

1. Контрольную работу необходимо выполнять в отдельной тетради, оставляя справа поля для замечаний рецензента.

2. В заголовке работы должны быть указаны фамилия и инициалы студента, факультет, курс, группа, учебный номер (шифр). Заголовок работы надо поместить на обложке тетради.

3. Необходимо записывать полное условие каждой задачи перед ее решением.

4. Решение задач записывать подробно, сопровождая необходимыми пояснениями.

5. В конце выполненной контрольной работы необходимо перечислить использованную при решении литературу.

Защита контрольной работы проводится в форме собеседования по теме работы.

I. Элементы линейной алгебры

 

Матрицы и определители

Операции над матрицами.

 

1) Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой .

Например: если , то

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

2) Сложение матриц.

Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица , элементы которой .

, , .

 

3) Вычитание матриц.

Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции:

.

4) Умножение матриц.

Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы .

Пример. Вычислить произведение матриц , где

; .

Решение.

1. Найдем размер матрицы-произведения (если умножение матриц возможно):

.

2. Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами:

а) свойства сложения матриц:

;

;

.

б) свойства умножения матриц:

;

;

;

.

Однако имеются и специфические свойства матриц.

, т.е. коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется.

 

5) Возведение в степень.

Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, равных , т.е.

.

Замечание: эта операция определяется только для квадратичных матриц.

6) Транспонирование матриц.

Переход от матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

Например: .

Свойства операции транспонирования:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

 

Обратная матрица

 

Мы показали, что все основные действия над числами можно производить и над матрицами. Возникает вопрос, можно ли найти матрицу , такую, что . Если она существует, то ее называют обратной матрицей.

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратной матрицы.

 

Определение:

Если – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условиям

Теорема.

Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица , была невырожденной, т.е. чтобы ее определитель был отличен от нуля.

 

Чтобы найти обратную матрицу , для матрицы , нужно:

1. Вычислить определитель матрицы .

2. Найти алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы .

3. Записать обратную матрицу по формуле:

(1.4)

обратив внимание на то, что матрица, составленная из алгебраических дополнений, транспонированна.

Чтобы сделать проверку, необходимо перемножить данную и обратную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Пример:

. Найти .

Решение.

;

Проверка:

ІІ. Элементы векторной алгебры

Основные понятия

Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой и конечной точкой (который можно перемещать параллельно самому себе). Обозначение: .

Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка , изображающего вектор. Обозначение .

Если начало и конец вектора совпадают, например , то такой вектор называется нулевым и обозначается . Длина нулевого вектора равна нулю: . Так как направление нулевого вектора произвольно, то считают, что он коллинеарен любому вектору.

Ортом или единичным вектором называется вектор, длина которого равна, единице.

Равными называются два вектора, если они расположены на параллельных прямых и имеют одинаковые длину и направление.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Компланарными называются три вектора, если они параллельны некоторой плоскости.

Суммой нескольких векторов называется вектор, по величине и направлению равный замыкающей пространственной ломанной линии, построенной на данных векторах.

Произведением вектора на число называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .

Проекцией вектора на ось (обозначение ) называется число, равное длине вектора , взятое со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси , и со знаком минус в противоположном случае. Здесь и соответственно проекции точек и на ось . Проекцией обозначают , где -угол между вектором и осью .

Координатами вектора называются проекции этого вектора на оси координат: и записываются: или .

Координаты вектора равны разностям соответствующих, координат его конца и начала , т.е. если и , то .

Длина (модуль) вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат: .

При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

 

Пример №1.

Даны векторы . Найти:

а) векторы и ;

б) длины векторов и ;

в) скалярный квадрат вектора ;

г) скалярное произведение векторов ;

д) угол между векторами и .

Решение.

а) По определению , ;

б) По формуле найдем длины векторов и :

;

.

в) По формуле – скалярный квадрат равен квадрату модуля вектора, т.е.

.

г) По формуле

.

д) По формуле угол между векторами и определяется равенством:

,

откуда .

Пример №2.

Найти синус угла между векторами: и .

Решение.

Из формулы получим, что

Находим .

откуда .

Пример №3.

Найти проекцию вектора на вектор .

Решение.

По формуле (2.3) имеем:

.

Пример №4.

Проверить, будут ли три данных вектора , и компланарны.

Решение:

Для этого достаточно проверить, выполняется ли условие компланарности векторов:

.

Проверим:

Значит, векторы - компланарны.

 

На плоскости

Аналитическая геометрия есть область математики, изучающая геометрические образы алгебраическими методами. Еще в VII веке французским математиком Рене Декартом был разработан и впервые применен так называемый «метод координат», позволяющий переводить геометрические понятия на алгебраический язык.

В основе «метода координат» лежит понятие системы координат. Прямоугольная система координат на плоскости устанавливает взаимнооднозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством пар чисел (рис. 1), которое дает возможность при решении геометрических задач применять алгебраические методы.

 

 

Доказательство.

Точки проектируем на оси координат, их проекции на ось

обозначим через , а на ось через (рис. 3).

 

Рис. 3

Отрезки, заключенные между параллельными прямыми и пропорциональны. Следовательно:

,

но , , , .

Отсюда:

, .

Из этих уравнений найдем неизвестные и , получим исходные формулы (3.2). Теорема доказана.

Полагая в формулах (3.2) , имеем:

,

т.е. координаты середины отрезка равны полусуммам, одноименных координат его концов.

 

 

Линии первого порядка

 

Пусть на плоскости заданы: прямоугольная система координат и некоторая линия . Рассмотрим соотношение вида:

, (3.3)

связывающее переменные величины и .

 

Определение:

Уравнение (3.3.) называется уравнением линии (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты и любой точки, лежащей на линии , и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на линии .

 

Поскольку величины и рассматриваются как координаты переменной точки , их называют текущими координатами.

Понятие уравнения линии дает возможность сводить геометрические задачи к алгебраическим.

Пример.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение:

Подставляя данные координаты в соотношение (3.9.), получаем:

или .

Задача.

Издержки производства 100 ед. некоторого товара составляют 300 тыс. грн., а 500 ед. – 600 тыс. грн. Определить издержки производства 400 ед. товара при условии, что функция издержек линейна.

Решение.

Используя уравнение прямой, проходящей через две точки и , получаем:

или .

Подставляя , вычисляем издержки производства 400 единиц товара:

(грн.)

 

Общее уравнение прямой

 

Теорема.

В прямоугольных координатах всякая прямая определяется алгебраическим уравнением первой степени и, наоборот, всякое уравнение

(3.10)

определяет прямую линию.

Доказательство. Первое утверждение теоремы мы уже доказали в п.3. Если прямая не перпендикулярна , то она определяется уравнением первой степени (см. (3.6.)), т.е. уравнение вида (3.10), где . Если прямая перпендикулярна оси , то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине отрезка, отсекаемого прямой на оси , что также является уравнением первой степени вида (3.10.), где .

Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (3.10). Если , то (3.10) можно записать в виде . Полагая , получим уравнение , т.е. уравнение (3.10.), которое определяет прямую.

Если и , то (3.10) примет вид . Обозначая – через , получим , т.е. уравнение прямой, перпендикулярной оси .

Линии, определяемые уравнением первой степени, называются линиями первого порядка. Уравнение вида называется общим уравнением прямой.

Пересечение двух прямых.

Пусть две прямые заданы общими уравнениями и . Найдем точку пресечения этих прямых. Очевидно, что она будет принадлежать как первой, так и второй прямой. Следовательно, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Поэтому для отыскания точки пересечения нужно решить систему уравнений:

Решение даст точку пересечения этих прямых. Если система не имеет решения, то прямые не пересекаются, т.е. не имеют общей точки.

Угол между двумя прямыми.

Возьмем две прямые и ; уравнение пусть будет , где , а уравнение : , где (рис. 5).

Пусть – угол между прямыми и : .

Рис. 5

Из геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами и , . Отсюда:

,

или

. (3.11)

Пример №1.

В треугольнике , заданном координатами своих вершин: , и . Найти: а) длину медианы , проведенной из вершины ; б) длину высоты , опущенной из вершины .

Решение: Сделаем схематический чертеж треугольника (рис. 6).

 

Рис.6

Сначала определим координаты точки , как точки, делящей отрезок пополам: , ; т.е. .

Длину медианы определим по формуле расстояния между двумя точками и :

.

Далее составим уравнение стороны , используя уравнение прямой, проходящей через две точки (3.9) и , а длину определим по формуле расстояния от точки до прямой (3.12):

; ; ;

.

Пример №2.

Даны прямые . Найти угол между ними.

Решение:

, . Тогда по формуле (3.11) находим:

.

Таким образом, угол между прямыми:

.

Пример №3.

Через точку пересечения прямых и проведена прямая перпендикулярно первой из данных прямых. Найти расстояние полученной прямой от начала координат.

Решение:

1. Находим точку пересечения прямых:

. Следовательно .

2. Найдем угловой коэффициент прямой, перпендикулярной к прямой . , , т.к. , то искомый угловой коэффициент .

3. Запишем уравнение искомой прямой: или ; .

4. Найдем расстояние полученной прямой от начала координат:

.

Пример №4.

Перевозка груза от данного города в первый пункт, находящийся на расстоянии 100 км, стоит 200 грн., а в другой, находящейся на расстоянии 400 км – стоит 350 грн. Найти стоимость перевозки на единицу расстояния и расходы, не связанные с расстоянием. Определить также стоимость перевозки груза на расстояние 875 км.

Решение.

Подставляя данные в уравнение , получим систему уравнений:

грн., грн. – ее решения.

Тогда стоимость перевозки на расстояние выражается уравнением:

.

В частности, стоимость перевозки на расстояние 875 км:

(грн.)

Задача.

Составить уравнение прямой, отсекающей на оси абсцисс отрезок величины , а на оси ординат – отрезок величины .

Решение.

Пусть данная прямая отсекает на оси абсцисс отрезок , а на оси ординат отрезок . Тогда координаты точки будут , а координаты точки будут (рис. 7).

 

Рис. 7

 

Составим уравнение данной прямой, как прямой, проходящей через две точки и . Подставляя координаты точек и в уравнение (3.9), получим:

или .

. (3.13)

Уравнение (3.13) называется уравнением прямой в отрезках на осях. В этом уравнении и – текущие координаты, и – параметры.

Замечание. Это уравнение удобно использовать для геометрического построения прямой откладывая на оси абсцисс отрезок, равный по величине , на оси ординат отрезок, равный по величине , и соединяя концы этих отрезков, получим искомую прямую.

Эллипс.

Эллипсом ( рис8 ) называется множество точек, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная , большая, чем расстояние между фокусами .

 

Рис. 8

Каноническое уравнение эллипса, изображенного на рисунке 8, имеет вид:

, (3.14)

где .

Вершинами эллипса называются точки и , и пересечения эллипса с его осями симметрии (осями координат) отрезки и , длины которых соответственно равны и , называются большой и малой осями соответственно. Параметры и равны полуосям эллипса. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к его большей оси, т.е. . Очевидно, что .

Окружность – частный случай эллипса, при условии, что полуоси эллипса и равны между собой . Каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом имеет вид:

. (3.15)

Общее уравнение окружности имеет вид:

. (3.16)

Для определения координат центра и радиуса окружности, заданной общим уравнением, нужно с помощью тождественных преобразований уравнения (3.16) привести к виду (3.15)

Гипербола.