Определители квадратных матриц

 

Определитель матрицы обозначается или . Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

(1.1)

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется одним из трех способов:

І способ: Правило треугольников или правило Сарруса:

На этом рисунке указано правило вычисления членов, учитываемых со своим знаком, а также правило вычисления членов с обратным знаком. Определитель будет равен алгебраической сумме всех произведений, то есть:

(1.2)

ІI способ – это способ вычисления определителей третьего порядка, заключающийся в дописывании первых двух столбцов, в нахождении произведений по главной диагонали и параллелях к ней и по обычной диагонали и параллелях к ней. То есть:

ІІІ способ – с помощью разложения по строке или столбцу.

Необходимо ввести следующие определения:

1. Минором элемента матрицы -го порядка называется определитель матрицы -го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием -й строки и -го столбца.

2. Алгебраическим дополнением элемента матрицы -го порядка называется его минор, взятый со знаком :

,

т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда – нечетное число.

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) определителя на их алгебраические дополнения.

Например, для столбцов этот способ нахождения определителя имеет вид:

, (1.3)

эта формула называется разложением определителя по элементам -го столбца.

Пример:

Таким образом, применяя формулу (1.3), мы сводим вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Обратная матрица

 

Мы показали, что все основные действия над числами можно производить и над матрицами. Возникает вопрос, можно ли найти матрицу , такую, что . Если она существует, то ее называют обратной матрицей.

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратной матрицы.

 

Определение:

Если – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условиям

Теорема.

Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица , была невырожденной, т.е. чтобы ее определитель был отличен от нуля.

 

Чтобы найти обратную матрицу , для матрицы , нужно:

1. Вычислить определитель матрицы .

2. Найти алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы .

3. Записать обратную матрицу по формуле:

(1.4)

обратив внимание на то, что матрица, составленная из алгебраических дополнений, транспонированна.

Чтобы сделать проверку, необходимо перемножить данную и обратную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Пример:

. Найти .

Решение.

;

Проверка:

ІІ. Элементы векторной алгебры

Основные понятия

Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой и конечной точкой (который можно перемещать параллельно самому себе). Обозначение: .

Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка , изображающего вектор. Обозначение .

Если начало и конец вектора совпадают, например , то такой вектор называется нулевым и обозначается . Длина нулевого вектора равна нулю: . Так как направление нулевого вектора произвольно, то считают, что он коллинеарен любому вектору.

Ортом или единичным вектором называется вектор, длина которого равна, единице.

Равными называются два вектора, если они расположены на параллельных прямых и имеют одинаковые длину и направление.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Компланарными называются три вектора, если они параллельны некоторой плоскости.

Суммой нескольких векторов называется вектор, по величине и направлению равный замыкающей пространственной ломанной линии, построенной на данных векторах.

Произведением вектора на число называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .

Проекцией вектора на ось (обозначение ) называется число, равное длине вектора , взятое со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси , и со знаком минус в противоположном случае. Здесь и соответственно проекции точек и на ось . Проекцией обозначают , где -угол между вектором и осью .

Координатами вектора называются проекции этого вектора на оси координат: и записываются: или .

Координаты вектора равны разностям соответствующих, координат его конца и начала , т.е. если и , то .

Длина (модуль) вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат: .

При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.