Общая схема исследования функций и построения их графиков

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность – нечетность, периодичность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва (если они существуют) и установить характер разрыва.

5. Найти асимптоты кривой.

6. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.

7. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

8. На основе проверенного анализа построить график функции

Пример.

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Область определения , т.е. .

2. Функция четная, так как , и ее график симметричен относительно оси ординат.

3. Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точках . Так как пределы функции при (слева) и при (справа) бесконечны, т.е. и , то прямая есть вертикальная асимптота. В силу симметрии графика также вертикальная асимптота.

4. Поведение функции в бесконечности. Вычислим . В силу четности имеем также , т.е. прямая - горизонтальная асимптота.

5. Экстремумы и интервалы монотонности. Найдем ; при и не существует при .

Однако критической точкой является только точка (так как значения не входят в область определения функции). Поскольку при , а при , то - точка минимума и - минимум функции. На интервалах и функция убывает, на интервалах и - возрастает.

1. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдем:

.

Очевидно, что на интервале и функция выпукла вниз на этом интервале на интервалах , и на этих интервалах функция выпукла вверх. Точек перегиба нет.

7. Точки пересечения с осями , т.е. точка пересечения с осью ординат . Уравнение решений не имеет, следовательно, график функциии не пересекает ось абсцисс.

 

 

По данным исследований строим график:

 

 

 

VІ. Интегральное исчисление

Понятие неопределеннного интеграла, свойства

Определение 1:	Функция называется первообразнойфункцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутке .
Определение 2:	Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается . Таким образом: ,где - некоторая первообразная для , с – произвольная постоянная.

В частности: .