Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть дана некоторая прямая, не перпендикулярная оси . Назовем углом наклона данной прямой к оси наименьшее положительное значение угла , на который нужно повернуть против часовой стрелки ось , чтобы ее направление совпало с одним из направлений прямой (рис. 4).

 

Рис. 4

 

В таком случае .

Тангенс угла наклона к оси называется угловым коэффициентом этой прямой и обозначается через :

. (3.4)

Обозначим через переменную точку с текущими коэффициентами и . Кроме того, введем в рассмотрение точку , в которой прямая пересекает ось . Из треугольника (рис. 4).

.

Отсюда, учитывая формулу (3.4), получим:

. (3.5)

Так как точка лежит на данной прямой, то уравнение (3.5) является уравнением данной прямой, которое после преобразования примет вид:

или

. (3.6.)

Уравнение (3.6.) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.

В ряде случаев встречается необходимость составить уравнение прямой, зная одну ее точку и направление, в котором проходит эта прямая. Так как искомая прямая проходит через точку , то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению . Определяя «» из этого равенства и подставляя его в уравнение (3.6), получим искомое уравнение прямой:

. (3.7)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пусть даны точки и . Приняв в равенстве (3.7) точку за , получим:

.

Отсюда:

. (3.8)

Подставив в уравнение (3.7), получим искомое уравнение прямой:

.

Это уравнение, если , можно записать в виде:

. (3.9)

Замечание. При выводе уравнение (3.9) мы получим формулу (3.8) углового коэффициента прямой, проходящей через две данные точки и .

Пример.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение:

Подставляя данные координаты в соотношение (3.9.), получаем:

или .

Задача.

Издержки производства 100 ед. некоторого товара составляют 300 тыс. грн., а 500 ед. – 600 тыс. грн. Определить издержки производства 400 ед. товара при условии, что функция издержек линейна.

Решение.

Используя уравнение прямой, проходящей через две точки и , получаем:

или .

Подставляя , вычисляем издержки производства 400 единиц товара:

(грн.)

 

Общее уравнение прямой

 

Теорема.

В прямоугольных координатах всякая прямая определяется алгебраическим уравнением первой степени и, наоборот, всякое уравнение

(3.10)

определяет прямую линию.

Доказательство. Первое утверждение теоремы мы уже доказали в п.3. Если прямая не перпендикулярна , то она определяется уравнением первой степени (см. (3.6.)), т.е. уравнение вида (3.10), где . Если прямая перпендикулярна оси , то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине отрезка, отсекаемого прямой на оси , что также является уравнением первой степени вида (3.10.), где .

Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (3.10). Если , то (3.10) можно записать в виде . Полагая , получим уравнение , т.е. уравнение (3.10.), которое определяет прямую.

Если и , то (3.10) примет вид . Обозначая – через , получим , т.е. уравнение прямой, перпендикулярной оси .

Линии, определяемые уравнением первой степени, называются линиями первого порядка. Уравнение вида называется общим уравнением прямой.

Пересечение двух прямых.

Пусть две прямые заданы общими уравнениями и . Найдем точку пресечения этих прямых. Очевидно, что она будет принадлежать как первой, так и второй прямой. Следовательно, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Поэтому для отыскания точки пересечения нужно решить систему уравнений:

Решение даст точку пересечения этих прямых. Если система не имеет решения, то прямые не пересекаются, т.е. не имеют общей точки.