Задача распределения ресурсов

Задача распределения ресурсов - одна из самых распространённых задач

менеджера. Любой начальник обязательно что-то распределяет: финансы,

работу подчинённым, сырьё, материалы, льготные путёвки в санаторий и т.д.

Можно даже утверждать, что начальник является начальником только, когда он

распределяет какой-то ресурс, то есть может оказывать влияние на целевые

функции подчинённых.

Рассмотрим производственную фирму, состоящую из центра и n

подразделений (агентов) (рис. 2.2).

В распоряжении центра имеется ресурс (заказ на производство продукции) в

количестве R. Цена единицы продукции p. Затраты агентов

Коэффициент ir характеризует эффективность работы i-го агента, чем больше

значение ir, тем меньше затраты агента при выполнении плана центра,

следовательно, больше эффективность агента. Задача центра заключается в том,

чтобы создать такой механизм распределения заказа между агентами, который

бы максимизировал критерий эффективности – прибыль фирмы.

Будем оценивать эффективность механизма планирования как отношение

целевой функции центра к её максимальному значению:

Для этого определим оптимальное распределение ресурсов с точки зрения

центра, которое обеспечивает максимум целевой функции центра

2.2.1.Определение оптимального распределения ресурса для центра

В качестве целевой функции центра примем максимизацию прибыли фирмы:

На распределение ресурса центром наложены следующие ограничения:

Оптимизационная задача относится к задачам на условный

экстремум. Перепишем ограничение так, чтобы в правой части был 0:

Используем для решения данной задачи метод множителей Лагранжа.

Запишем функцию Лагранжа как сумму целевой функции (2.1) и ограничения

(2.3), умноженного на множитель Лагранжа:

Найдём частные производные от функции Лагранжа по неизвестным

переменным

Из первого уравнения системы (2.4) следует:

Подставляя (2.5) во второе уравнение системы (2.4), получаем

Откуда найдём множитель Лагранжа:

Подставляя множитель Лагранжа (2.6) в (2.5), получаем оптимальный

закон планирования для центра:

Оптимальный план распределения заказа с точки зрения центра для i-го

агента прямо пропорционален имеющемуся ресурсу R и отношению

эффективности i-го агента к сумме эффективностей всех агентов.

Для нахождения максимального значения целевой функции подставим

оптимальный план (2.7) в выражение для целевой функции (2.1):

Полученное выражение определяет максимально возможную прибыль для

центра.

 

Определение оптимального распределения ресурса для агентов

Рассмотрим математическую постановку задачи. Фонд заработной платы

каждого подразделения составляет определённый процент m от прибыли,

зарабатываемой этим подразделением. Поэтому в качестве целевой функции i-

го подразделения будем рассматривать максимизацию зарабатываемой

прибыли:

где iy - распределение заказа с точки зрения i-го агента.

Оптимизационная задача (2.13) - это задача на безусловный экстремум

функции одной переменной. Для решения задачи продифференцируем эту

функцию по iy и приравняем к нулю:

Решая уравнение определим оптимальный план для каждого агента: Анализируя полученные формулы (2.7) и (2.15), можно сделать вывод о

противоречии между интересами центра и агента.