Многоканальная СМО с неограниченной очередью

На многоканальную СМО с ожиданием и неограниченной длиной очереди поступает поток заявок с интенсивностью λ, интенсивность обслуживания каждого канала μ. Размеченный граф состояний представлен на рисунке.

Граф СМО имеет бесконечное число состояний:

S₀ - все каналы свободны, k= 0;

S₁ - занят один канал, остальные свободны, k = 1;

S₂ - заняты два канала, остальные свободны, k = 2;

…………………

S_n - заняты все n каналов, k = n, очереди нет;

……………….

S_n+1 - заняты все n каналов, одна заявка в очереди,

S_n+r - заняты все n каналов, r заявок в очереди, k = n + r;

 

Вероятности состояний получим из формул для многоканальной СМО с ограниченной очередью при переходе к пределу при m → ∞.

Сумма геометрической прогрессии в выражении для р₀ расходится при уровне загрузки р/n ≥1, очередь будет бесконечно возрастать, а при p/n < 1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО, для которого и определим выражения для предельных вероятностей состояний:

Поскольку отказа в обслуживании в таких системах не может быть, то характеристики пропускной способности равны:

р_отк = 0; Q =1; A = λ·Q =λ;

среднее число заявок в очереди – ;

среднее время ожидания в очереди –

среднее число заявок в СМО – L_смо = L_оч + ρ.

Вероятность того, что СМО находится в состоянии So, когда нет заявок и не занято ни одного канала, определяется выражением

Эта вероятность определяет среднюю долю времени простоя канала обслуживания.

Вероятность занятости обслуживанием к заявок – .

На этом основании можно определить вероятность, или долю времени занятости всех каналов обслуживанием. .

Если же все каналы уже заняты обслуживанием, то вероятность состояния определяется выражением

Вероятность оказаться в очереди равна вероятности застать все каналы уже занятыми обслуживанием.

Среднее число заявок, находящихся в очереди и ожидающих обслуживания, равно:

среднее время ожидания заявки в очереди начала обслуживания: ;

среднее время пребывания заявки в СМО –

среднее число занятых каналов обслуживанием равно -

среднее число свободных каналов -

коэффициент занятости каналов обслуживанием -

среднее число заявок в СМО -

Важно заметить, что параметр р характеризует степень согласования входного потока, например, покупателей в магазине с интенсивностью потока обслуживания. Процесс обслуживания будет стабилен при р < n. Если же р ≥ n, в системе будут возрастать средняя длина очереди и среднее время ожидания покупателями начала обслуживания, и, следовательно, СМО будет работать неустойчиво.

Пример 1. В столовой к узлу расчета поступает пуассоновский поток посетителей с интенсивностью λ = 120 человек в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного посетителя составляет Т_обс = 1,0 мин. Определим оптимальное число контролеров-кассиров n₀, при котором общие издержки С, определяемые затратами, с одной стороны, на содержание контролеров-кассиров С_ио, а с другой - пребыванием посетителей в очереди С_ип, были бы минимальны.

На этом основании целевую функцию можно записать так:

С=(С_ио + С_ип) → min

Издержки С_ио определяются числом каналов обслуживания n, величиной затрат, связанных с содержанием в системе одной обслуживающей единицы в течение одной единицы времени С_к (руб./ч) и интенсивностью входного потока λ.

С_ип определяются величиной удельных потерь C_оч связанных с пребыванием в очереди одного покупателя в течение единицы времени и средним временем ожидания в очереди Т_оч. Тогда целевую функцию затрат, связанную с пребыванием покупателей в системе в течение единицы времени, можно записать так:

C = (C_к·n·1/λ + С_оч t_оч) → min,

Для удобства проведения вычислений предположим, что С_оч/С_к = 3/1, что позволит определить соотношение стоимостей обслуживания для разных вариантов организации системы. Для наглядности решения задачи построим график целевой функции С = f(n), по которому найдем минимум затрат, величина которого укажет на оптимальную численность контролеров-кассиров.

Следует заметить, что длина очереди - один из основных показателей эффективности СМО. Причем если длина очереди в системе может бесконечно возрастать, то рациональной организации системы нельзя получить. Только при условии р < n очередь может быть конечна, т. е. число заявок, поступающих в СМО за промежуток времени, равный средней длительности обслуживания Т_о6с, меньше числа обслуживающих каналов. Это обусловлено вероятностным характером как потока заявок, так и временем их обслуживания. Поэтому о рациональности варианта организации СМО можно рассуждать лишь в том случае, если n > р. Поскольку из условия задачи следует, что интенсивность нагрузки р = λ/μ = 2, то вычисления показателей системы следует начать с n = 3.

Сначала определяем долю времени простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня, т.е. при условии отсутствия покупателей.

Следовательно, 3 контролера-кассира будут простаивать 11 % времени от всей продолжительности рабочего дня.

Результаты вычислений

Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми определяется по формуле Эрланга.

Вероятность оказаться в очереди -

среднее число покупателей, находящихся в очереди, -

среднее время ожидания покупателями в очереди начала обслуживания -

относительная величина затрат для n = 3 и С_оч = 3С_к составляет:

среднее время пребывания посетителя в узле расчета –

среднее число занятых обслуживанием контролеров-кассиров-

среднее число свободных контролеров-кассиров –

Коэффициент занятости контролеров-кассиров обслуживанием, т. е. нагрузка на одного контролера-кассира, или доля занятых обслуживанием каналов, составляет

Среднее число покупателей в узле расчета -

абсолютная пропускная способность узла расчета в столовой -

Затем проводим аналогичные вычисления по определению перечисленных показателей для других значений n = 4, 5, 6, 7

Оптимальное число контролеров-кассиров в узле расчета n° = 4 для соотношения С_оч: С_k = 3: 1, при этом общие затраты будут минимальными.

Графическая модель связи относительно затрат СМО и числа кассиров

Для целей расширения анализа проведены вычисления для разных вариантов соотношения С_оч: C_k = 4,5, которое, влияет на оптимальную численность контролеров-кассиров.