Про групи, комутант І центр яких збігаються

Вивчення груп, підгрупи яких задовольняють наперед задані умови, відіграє істотну роль в розвитку абстрактної теорії груп. Такі дослідження скінченних груп вперше були проведені в роботах Р.Дедекінда, Г.А.Міллера, Г.Морено і О.Ю.Шмідта [7]-[9], а пізніше їхні результати було поширено і на нескінченні групи. Вагомий внесок в розвиток цього напрямку зробили також Р.Бер, Б.А.Верфріц, Ф.Холл, М.С.Черніков, С.М.Черніков, С.І.Адян, Д.І.Зайцев, Ю.І.Мерзляков, В.М.Глушков, І.І.Єрьомін, О.Кегель, А.Г.Курош, А.І.Мальцев, Б.І.Плоткін, Д.Ю.Робінсон, А.В.Рожков, Я.П.Сисак, В.І.Сущанський, М.Томкінсон, Г.Хайнекен, В.С.Чарін та ін. Докладний огляд різноманітних підходів до вивчення нескінченних груп можна знайти в монографії [4] та оглядових статтях [1], [3], [5] i [6].

Особливий інтерес викликає дослідження груп із наперед заданими умовами скінченності. Однією з таких умов є умова скінченності множини твірних елементів групи. Структура скінченно-породжених абелевих груп давно відома. Природно було від абелевих груп перейти до розгляду груп , комутант яких збігається з центром , або навіть більш загально, . Інтенсивні дослідження в цьому напрямку відбувались в 70-х роках XX століття. Над проблемою класифікації скінченно-породжених груп, в яких , працювали Ф.Грюнвальд, Д.Сегал, Н.Сесекін, В.Сергійчук. Повну класифікацію було отримано лише за дуже великих обмежень. Більше того, задача класифікації навіть скінченних груп із умовою є нерозв’язною.

Тому природно розглядати цю задачу для окремих порядків скінченних груп. В доповіді дану задачу буде розглянуто для груп порядків при , де - деяке просте число, а саме: представлено конструктивний опис груп порядків при , в яких .

Нагадаємо, що центром групи (позначається ) називають множину її елементів, що переставні із усіма елементами групи : . Комутатором елементів і групи називається елемент . Комутантом групи називають підгрупу , породжену всіма комутаторами, тобто [2].

Окрему увагу в доповіді буде приділено конкретним прикладам груп, комутант і центр яких збігаються.

 

Список використаних джерел

1. Зайцев Д.И., Каргаполов М.И., Чарин В.С. Бесконечные группы с заданными свойствами подгрупп // Украинский математический журнал. – 1972. – Т. 24, № 5. – С. 618-633.

2. Холл М. Теория групп. – М.: Издательство иностранной литературы, 1962. – 466 с.

3. Чарин В.С., Зайцев Д.И. Группы с условиями конечности и другими ограничениями для подгрупп // Украинский математический журнал. – 1988. – Т. 40, № 3. – С. 277-287.

4. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. – Москва: НАУКА, 1980. – 384 с.

5. Черников С.Н. Исследование групп с заданными свойствами подгрупп // Украинский математический журнал. – 1969. – Т.21. – С. 193-209.

6. Черников С.Н. О группах с ограничениями для подгрупп // Группы с ограничениями для подгрупп. – Киев: Наукова думка, 1971. – С. 17-39.

7. Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Матем. сб. – 1924. – Т.31. –– С. 366-372.

8. Шмидт О.Ю. Группы, имеющие только один класс неинвариантных подгрупп // Матем. сб. – 1926. – Т.33. – С. 161-172.

9. Шмидт О.Ю. Группы с двумя класами неинвариантных подгрупп // Труды Семинара по теории групп. – 1938. – С. 7-26.

Дончик А.М.,