Энергетические уровни системы частиц

 

В квантовых приборах для усиления и генерации электромагнитного излучения используется внутренняя энергия таких частиц, как атомы, молекулы и ионы. Отсюда вытекает основная особенность физических свойств квантовых приборов в сравнении с электронными.

В электронных приборах, как известно, используется движение свободных электронов в вакууме, газе либо твердом теле. При этом движущийся свободный электрон может быть уподоблен бегущей волне. Если электрон движется со скоростью v, то его длина волны по формуле де Бройля

λ=ћ/mv, (1)

где m - масса электрона; ћ =6,63.10^-34 Дж с =4,14.10^-15 эВ с — постоянная Планка. Поскольку скорость свободного электрона может быть произвольной, то произвольными являются длина волны и энергия электрона.

В квантовых же приборах используется движение связанных электронов. Движущийся связанный электрон можно уподобить стоячей волне. При этом длина волны не может быть произвольной: Для нее допустимы лишь некоторые дискретные значения. Следовательно, скорость связанного электрона, а значит, и его энергия могут принимать только ряд дискретных значений, т. е. кван­туются.

Возможные значения энергии частицы называются уровнями энергии (энергетическими уровнями), совокупность которых является энергетическим спект­ром частицы.

Если энергия атома, молекулы либо иона изменяется от W_к до W_i, то говорят, что частица совершила переход с уровня W_к на уровень W_i. При W_к > W_i наблюдается излучение кванта

ћn_ki= (W_к-W_i) (2)

где v_ki — частота, на которой излучается квант, или частота энергетического пе­рехода.

Из третьего постулата Бора (2) следует, что частота перехода определяется только энергетическим расстоянием W_к > W_i, т. е.

n_ki= (W_к-W_i)/ ћ. (3)

Графически уровни энергии можно изобразить по аналогии с потенциальной энергией тела, поднятого на различные высоты (уровни), где каждому зна­чению энергии W, отложенному по вертикали, соответствует горизонтальная прямая (рис. 1).

Самый нижний уровень, соответствующий наименьшей возможной энергии, называется основным, а все остальные являются возбужденными, так как для перехода на них с основного уровня частица должна возбудиться — поглотить определенную энергию. В дальнейшем совокупность частиц будем называть квантовой системой.

Согласно принципу Паули в квантовой системе не может быть более двух электронов с одинаковыми энергиями. Поэтому энергетический уровень одно­именных взаимодействующих между собой частиц расщепляется на множество различных уровней. Для того чтобы одноименные уровни каждой частицы в системе были одинаковыми, частицы не должны взаимодействовать между со­бой, т. е. их следует разнести на определенные расстояния друг от друга. Только такие системы будем рассматривать в дальнейшем.

Уровни энергии одноэлектронных атомов в основном определяются средней удаленностью электрона от ядра, которая характеризуется главным квантовым числом n =1, 2, 3,...:

W_n =-R/n²+W_∞, (4)

где R — постоянная; W_∞ —энергия ионизации атома.

Энергетические уровни, описываемые (4), не являются одиночными. Они расщепляются на ряд подуровней. Это объясняется тем, что каждому значению главного квантового числа соответствует свой орбитальный момент количества движения, обусловленный движением электрона вокруг ядра. Этот момент опре­деляется орбитальным квантовым числом l

l = n - 1. (5)

Кроме того, электрон, вращаясь вокруг собственной оси, обладает еще спино­вым моментом количества движения (спином). Полный момент количества движения j атома равен сумме орбитального и спинового моментов и определяется квантовым числом полного момента количества движения:

j = l+ s, (6)

где s — спиновое квантовое число.

Рис. 1. Уровни энер­гии частиц при слабом взаимодействии между атомами

Рис. 2. Электронные, ко­лебательные и вращатель­ные энергетические уровни в молекуле

В многоэлектронном атоме орбитальные моменты отдельных электронов складываются в суммарный орбитальный момент, а спиновые моменты — в сум­марный спиновый, суммируются также соответствующие квантовые числа:

(7)

Квантовое число полного момента количества движения атома определяется по формуле

j = L+S. (8)

Что же касается многоатомной молекулы, то ее энергетический спектр гораздо сложнее атома. Но в первом приближении полную внутреннюю энергию молекулы можно представить суммой трех слагаемых:

 

W=W_эл+W_кол+W_вр, (9)

 

где W_эл — электронная энергия, обусловленная движением электронов; W_кол — колебательная энергия, обусловленная колебательным движением атомов друг относительно друга; W_вр — вращательная энергия, которая определяется вращательным движением молекулы как целого.

В соответствии со структурой (9) в энергетическом спектре молекулы различают уровни: 1 — электронные; 2 —колебательные; 3 — вращательные (рис. 2).

 

Квантовые переходы

 

Квантовым переходом называется скачкообразный переход квантовой системы (атома, молекулы либо иона) с одного уровня энергии на другой. При переходе с низкого уровня Wi на более высокий W_k частица поглощает квант энергии ћv_ki= W_к - W_i, при обратном переходе — испускает такой же квант.

Квантовые переходы могут быть излучательными и безызлучательными. При излучательном квантовом переходе частица из­лучает либо поглощает квант электромагнитной энергии, т. е. об­менивается энергией с внешней средой. В случае безызлучательных переходов частица получает или передает порцию энергии при взаимодействии с другими системами. Например, атомы и мо­лекулы газа могут получать (возбуждаться) либо терять энергию при столкновении друг с другом или электронами. При этом час­тицы переходят с одного уровня на другой без излучения. В твер­дом теле, например, частицы могут передавать свою энергию крис­таллической решетке в виде тепла.

Излучательные квантовые переходы могут быть спонтанными (самопроизвольными) либо вынужденными (индуцированными, стимулированными).

Спонтанные переходы могут совершать возбужденные частицы, переходя с более высокого уровня на низкий. Это объясняется тем, что возбужденное состояние частицы является неустойчивым и через некоторое время пребывания на верхнем уровне она само­произвольно (спонтанно) под действием внутренних возмущений совершает переход на нижний энергетический уровень. При таких спонтанных переходах излучения некогерентны, т. е. ни их начальные фазы, ни направления распространения не коррелированы между собой. Фронт волны при суммарном спонтанном излуче­нии хаотически меняется со временем и расстоянием. Такое излу­чение представляет собой не что иное, как шум. Поэтому спон­танное излучение не может быть использовано ни для усиления, ни для генерирования электромагнитных колебаний.

Если же квантовая система облучается электромагнитной вол­ной на частоте, удовлетворяющей условию (3), т. е. на частоте перехода, то кванты этого облучения могут взаимодействовать с частицами как нижнего, так и верхнего уровня. Частицы нижнего уровня, поглощая кванты энергии от облучающего поля, перехо­дят на верхний уровень, а при облучении частиц верхнего уровня происходит вынужденное излучение квантов. В этом случае излу­чения отдельных квантов когерентны. Очень важно, что излученное колебание имеет такие же фазу, поляризацию и направление распространения, что и облучившее колебание. Следовательно, вы­нужденное излучение синфазно с облучающим электромагнитным колебанием, т. е. оно передается облучающему полю, усиливая его мощность. Таким образом, вынужденное излучение позволяет в принципе получить возможность для усиления и генерации электромагнитных колебаний. Частота последних определяется энергетическим расстоянием между уровнями.

Анализ (3) показывает, что переходам между электронными уровнями соответствует излучение на частотах 10¹⁴...10¹⁵ Гц (видимый и ультрафиолетовый диапазоны волн), переходам между колебательными уровнями — инфракрасная область спектра (10¹²... 10¹³ Гц), переходам между вращательными уровнями — излучение в диапазоне миллиметровых длин волн (10¹⁰... 10¹¹ Гц).

Квантовые переходы являются случайными процессами и по­этому характеризуются вероятностными характеристиками, для определения которых рассмотрим энергетически изолированную квантовую систему. Для простоты рассуждений будем полагать, что каждая частица может обладать лишь двумя уровнями энер­гии: нижним W₁ либо верхним W₂. Такие системы называют двух­уровневыми.

Число частиц в 1 см³ вещества, находящихся на данном энер­гетическом уровне, называется населенностью этого уровня.

Пусть населенности нижнего и верхнего уровней равны соот­ветственно N₁ и N₂. Подсчитаем число спонтанных переходов dN₂ за время dt при вероятности спонтанного перехода А₂₁ в единицу времени:

dN₂ = -A₂₁N₂dt. (10)

Здесь знак «минус» отражает убывание населенности N₂. После интегрирования (10) получаем

N₂= N₂(0)ехр(А₂₁t), (11)

где N₂ (0)—населенность верхнего уровня W₂ в момент времени t = 0, т. е. исходное значение населенности N₂.

Из (11) видно, что населенность верхнего уровня убывает с течением времени по экспоненте.

Величина, обратная вероятности перехода в единицу времени.

τ=1/ А₂₁ (12)

называется средним временем жизни частиц на данном уровне или временем релаксации. Она характеризует время, в течение которого первоначальная населенность верхнего уровня убывает в е раз. Типичное время релаксации составляет 10^-6...10^-9 с. Но иногда это время оказывается значительно больше, достигая 10^-3 с и даже секунд. Такие уровни называются метастабильными. Имен­но они используются для усиления и генерации.

Следует отметить, что в энергетически изолированной кванто­вой системе спонтанным переходам с верхних уровней на нижние сопутствуют переходы и в обратном направлении, так как излу­ченные кванты поглощаются частицами нижних уровней, и они переходят «наверх». При постоянной температуре наблюдается термодинамическое равновесие, т. е. среднее число переходов вниз и вверх одно и тоже. Распределение населенностей при термоди­намическом равновесии называется равновесным.

Таким образом, если частица верхнего уровня может само­произвольно (спонтанно) излучить энергию и перейти на нижний уровень, то частица нижнего уровня перейдет наверх только в том случае, когда поглотит квант энергии.

Следовательно, квантовая система, предоставленная сама себе, не может излучать энергию в окружающее пространство, хотя частицы верхнего уровня и излучают энергию, она поглощается частицами нижнего уровня.

 

Ширина спектральной линии

 

Применительно к двухуровневой системе (3) можно предста­вить в виде

v₂₁= (W₂-W₁)/ ћ. (13)

откуда вытекает, что при строго фиксированных W₂ и W₁ излуча­ется энергия на одной-единственной частоте, т. е. излучение монохроматично. Однако в реальных системах уровни W₂ и W₁ не яв­ляются бесконечно тонкими. В силу ряда причин они имеют конеч­ную ширину, или «размытость». Кроме того, с повышением темпе­ратуры размытость энергетического уровня увеличивается. Поэто­му частота v₂₁ не является строго фиксированной, и поглощение энергии квантовой системой либо излучение наблюдается в неко­торой полосе частот ∆v. Эта полоса тем уже, чем больше время жизни частиц на верхнем уровне.

Из теории колебаний известно, что если длительности сигнала ∆t соответствует полоса частот ∆ v, то

∆t ∆v ≈1, (14)

Из (3) можно установить, что какому-либо изменению энергии ∆W частицы сопутствует изменение частоты перехода

∆v = ∆W/h. (15)