С помощью дифракционной решетки

 

Цель работы: ознакомиться с явлением дифракции при прохождении света сквозь дифракционную решетку, опытным путем определить длины волн красного и фиолетового света.

 

2.1 Краткие теоретические сведения

 

Прежде, чем начинать изучение данного раздела, следует восстановить в памяти описание явления интерференции, содержащийся в разделе «Краткие теоретические сведения» к лабораторной работе № 62.

Визуально свет воспринимается и наглядно изображается как совокупность прямых линий – лучей, которые выходят во всех направлениях из точечных источников света. В роли источников выступают все точки поверхности тела, которое светится, или будучи раскаленным, или отражая свет, который приходит от других тел. Тело в целом также может восприниматься как точечный источник света, если расстояние до него значительно превосходит его размеры. Именно лучи света в однородной прозрачной среде олицетворяют прямые линии, являются эталоном геометрической прямой.

Лучи от точечного источника света, который находится в однородной прозрачной среде, пронизывают все точки окружающего пространства. Но, встретив непрозрачное тело они поглощаются и за непрозрачным телом возникает зона геометрической тени. Границы теневой зоны образуются всеми прямыми линиями – лучами, касательными к поверхности непрозрачного тела. В соответствии с законами геометрической оптики свет не может огибать непрозрачные препятствия и заходить в зону геометрической тени. Однако эксперимент показывает, что это не так, свет огибает непрозрачные препятствия.

Явление отклонения света от прямолинейного пути распространения вследствие огибания непрозрачных препятствий и захождения света в зону геометрической тени называется дифракцией света. Это явление полностью объясняется в рамках волновой теории света. В основе объяснения и количественного описания дифракции света лежит принцип Гюйгенса-Френеля.

1) Свет есть волновое возбуждение, которое распространяется в пространстве. Каждая точка пространства, до которой дошел фронт волны в данный момент, становится точечным источником вторичных волн. Новый фронт волны через малый промежуток времени образуется как огибающая фронтов вторичных волн от всех точек начального фронта волны.

2) Интенсивность света в произвольной точке пространства может быть определена как результат интерференции вторичных световых волн, которые приходят в данную точку от всех точек одной из волновых поверхностей, расположенной между точкой пространства и источником света. При этом интенсивность вторичных волн равна нулю в направлении источника света, приобретает максимальные значения для противоположного направления и почти не отличается от нуля в направлениях касательной в волновой поверхности.

Рисунок 2.1

Первая часть принципа сформулирована Гюйгенсом, Она позволяет дать только качественное объяснение дифракции света. На рисунке 2.1 изображен точечный источник света S, он является центром фронта световой волны, который имеет сферическую форму. Фронт волны движется, расширяясь, в направлениях, обозначенных световыми лучами П, лучи перпендикулярны фронту волны в каждой его точке. Пунктирные линии показывают положения фронта волны в моменты времени t₁ и t₂. В момент t₁ фронт волны достигает непрозрачного экрана Е и частично задерживается им, образуется зона геометрической тени. Фронт световой волны в момент t₂ строится как огибающая всех сферических фронтов вторичных волн. Далеко от краев непрозрачного экрана он, как и в момент t₁, имеет форму сферической поверхности с центром S, что соответствует прямолинейному распространению света. Но около краев непрозрачного экрана сферическая форма фронта волны нарушается. И это соответствует появлению световых волн, которые изменили свое направление и зашли в область геометрической тени.

По определению волновая поверхность – это геометрическое место точек, в которых связанные с распространением волны колебания происходят в одной фазе. В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля эти точки являются когерентными источниками вторичных волн. В каждой точке пространства накладываются вторичные волны от всех точек волновой поверхности и происходит их интерференция. Результатом интерференции является появление максимумов и минимумов интенсивности света. Эти максимумы и минимумы наблюдаются, если зона геометрической тени пересекается белым экраном, на котором появляется тень непрозрачного тела – темное пятно, которое повторяет его форму. Вследствие дифракции границы тени не просто утрачивают четкость, а превращаются в систему параллельных темных и светлых полос. В обычных условиях эта система имеет очень маленькую общую ширину и маскируется расплыванием границы тени вследствие неточечности реальных источников света.

Френель разработал упрощенный метод, который позволяет рассчитывать результаты интерференции вторичных волн для всех точек экрана, на котором наблюдается тень от непрозрачного тела. Называется он метод зон Френеля. Для расчетов используется волновая поверхность, которая частично перекрывается непрозрачным телом. Выбирается точка экрана, для которой будет определяться интенсивность света и относительно этой точки открытая часть волновой поверхности разделяется на зоны Френеля. Границы зон Френеля проводятся таким образом, чтобы вторичные волны от середин соседних зон приходили в выбранную точку экрана с разностью хода l/2, то есть интерференция их должна приводить к взаимному ослаблению. На рисунке 2.2 изображено прохождение света от точечного источника S через круглое отверстие радиуса R в диафрагме Д. Рассчитываем результат интерференции вторичных волн в точке экрана Р, которая лежит напротив центра отверстия. Волновая поверхность Х.П., которая является источником вторичных волн, - это сферическая поверхность с радиусом а, она касается края круглого отверстия. В точку Р приходят вторичные волны лишь от той части волновой поверхности, которая помещается в отверстии. Наименьшее расстояние от волновой поверхности до точки Р

Рисунок 2.2

равняется b. Зоны Френеля на волновой поверхности имеют форму колец, границы которых прочерчиваются как ножкой циркуля отрезками , де m=1, 2, 3,… Радиус m-й зоны Френеля

. (2.1)

Отсюда определяется число зон Френеля, которые помещаются в круглом отверстии радиуса R

. (2.2)

Полная интенсивность вторичных волн, которые приходят в точку Р от одной зоны Френеля, должна быть пропорциональна ее площади. Можно доказать, что при малых номерах m площадь зоны Френеля не зависит от номера. Это приводит к практически полному взаимному уничтожению в точке Р вторичных волн от двух соседних зон Френеля вследствие интерференции. Если в отверстии диафрагмы укладывается четное число зон Френеля, в центре экрана наблюдается минимум интенсивности света, темное пятно. Нечетность числа зон Френеля в отверстии диафрагмы приводит к появлению в центре экрана максимума интенсивности. Расчет для соседних точек показывает, что вокруг центрального темного или светлого кольца должна появляться концентрическая система темных и светлых колец, что соответствует действительности.

Рисунок 2.3

Еще один простой случай дифракции описал Фраунгофер. На рисунке 2.3 изображено падение плоской световой волны (волновые поверхности имеют форму плоскостей) на непрозрачный экран Д с отверстием в форме щели шириной а. Площадь щели является волновой поверхностью, будем считать ее совокупностью когерентных точечных источников вторичных волн. Эти волны распространяются во всех направлениях и попадают на линзу Л. За линзой, в ее фокальной плоскости, находится экран наблюдения Е. В каждой точке экрана линза собирает вторичные волны, которые распространяются в одном из направлений. На рисунке они изображены с помощью лучей, которые отклонились от прямолинейного пути распространения на угол j. Если бы эти лучи соответствовали плоской волне, собирание их линзой в точке экрана Р привело бы к появлению в ней максимума интенсивности, в котором сконцентрировалась бы полная энергия волны. Условием появления максимума является одинаковая фаза колебаний вторичных волн, которые накладываются, а значит линза не может создавать дополнительную разность хода для параллельных лучей, которые проходят через нее. Однако на рисунке 2.3 параллельные лучи, которые отклоняются на угол j, соответствуют не плоской волне, а совокупности вторичных волн от разных точек плоскости щели, они имеют отличную от нуля разность хода. Для граничных лучей эта разность равна . Р приводит к интерференции, результат которой определяется методом зон Френеля. Зоны Френеля в данном случае имеют форму прямоугольников одинаковой ширины, вытянутых вдоль щели. Число их находим из условия (m – целое число), по которому мы можем разделить площадь щели на такие прямоугольники с помощью расположенных на расстоянии l/2 линий, перпендикулярных лучам (см. рисунок 2.3, там таких линий и зон Френеля три). Четное число зон Френеля m приводит к тому, что вторичные волны, которые отклонились на соответствующий угол j, собранные линзой в точку Р дают минимум интенсивности света. Отсюда условие Отсюда условие возникновения дифракционного минимума k-го порядка

; m=1,2,3,… (2.3)

Напротив щели на экране Е возникает центральный максимум интенсивности света, угловая ширина которого определяется положениями минимумов первого порядка, то есть -j₁ < j < j₁, тут . Следует отметить, что при ширине щели а < l, Дифракционные минимумы, которые ограничивали бы центральный максимум, вообще не возникают. В Этом случае свет распространяется во всех направлениях, щель превращается в линейный источник света. При а > l почти вся световая энергия приходится на центральный максимум. Но параллельно его краю проходят светлые и темные полосы дополнительных максимумов и минимумов.

Описание дифракции, данное Фраунгофером, - одна из основ теории создания изображения оптическими приборами, прежде всего телескопами и микроскопами.

 

2.2 Описание установки и метода исследования

 

Рисунок 2.4

Одномерной дифракционной решеткой называется система, которая состоит из большого числа параллельных щелей одинаковой ширины, разделенных также одинаковыми непрозрачными промежутками. Такая система изображена на рисунке 2.4, а – ширина щели, b – ширина непрозрачного промежутка, d = a + b называется постоянной решетки. Постоянная решетки равняется расстоянию между серединами соседних щелей. Общая ширина решетки Nd, N – полное число щелей в решетке.

На дифракционную решетку направляется плоская световая волна таким образом, что плоскость решетки становится одной из волновых поверхностей. Вследствие дифракции часть света изменяет направление распространения, щели решетки превращаются в источники вторичных волн, которые распространяются во всех направлениях. Они попадают на линзу Л, в фокальной плоскости которой находится экран Е для наблюдения дифракционной картины. Линза фокусирует в разных точках экрана параллельные лучи, которые распространяются от всех щелей отклонившись на один угол j. Эти лучи соответствуют когерентным волнам и, накладываясь в точке Р, интерферируют с образованием максимума или минимума. Разность хода для волн, которые выходят из любых двух соседних щелей . Поскольку линза Л не создает дополнительной разности хода, для появления главного максимума интенсивности света в точке Р необходимо, чтобы разность хода волн от всех щелей были кратны длине волны l, что выполняется при условии

; k=0,1,2,… (2.4)

Уравнение (2.4) называется формулой дифракционной решетки и определяет положение на экране главных дифракционных максимумов. Это положение зависит от порядка максимума k и длины волны l. Первые минимумы, которые ограничивают ширину главного максимума, возникают для таких j, при которых становится равной нечетному числу l/2 разность хода от щелей, которые находятся на расстоянии Nd/2. Тогда вторичные волны от щелей одной половины решетки взаимно уничтожаются в результате интерференции с вторичными волнами от щелей второй половины решетки. Условие возникновения минимума освещенности

; k=0,1,2,… (2.5)

Сравнивая формулы (2.4) та (2.5) видим, что величины j_min очень близки к соответствующим j_k, то есть угловые ширины главных максимумов очень малы. Вместе с зависимостью j_k от l это позволяет использовать дифракционную решетку для разложения света в спектр.

Рисунок 2.5

Экспериментальная установка, на которой выполняется работа, изображена на рисунке 2.5. Источником света является раскаленная вольфрамовая спираль лампы S, то есть раскаленное твердое тело. Спектр его излучения непрерывный, длины волн принимают все значения из диапазона видимого света, а цвет изменяется от фиолетового до красного. Наложение же этих волн создает свет белого цвета.

Свет от источника S концентрируется конденсорной системой линз Л₁ на диафрагме Д с отверстием в форме щели. Свет, который проходит через щель, концентрируется линзой Л₂, которая создает изображение щели на экране Е. Этот свет проходит также через дифракционную решетку Г, расположенную на малом расстоянии от линзы Л₂. Вследствие дифракции световые волны изменяют направление распространения и создают на экране Е интерференционные максимумы в форме вертикальных полосок. Расстояние между дифракционной решеткой и экраном Е равно L, оно значительно превышает ширину решетки. Поэтому лучи, которые проходят через решетку почти не отличаются от параллельных, для них сохраняют силу формулы (2.4) та (2.5). Углы j_k, под которыми наблюдаются максимумы k-го порядка (k=0,1,2,…), определяются формулой (2.4), благодаря малой угловой ширине линейная ширина максимума зависит только от ширины щели, поскольку каждый максимум является ее изображением. Из формулы (2.4) видим, что положение центрального, нулевого максимума (k=0) не зависит от длины волны l, он имеет белый цвет. Положения максимумов первого (k=1), второго (k=2) и больших порядков определяется кроме k длиной волны. Изображения щели, которые создаются светом различного цвета, находятся в разных местах экрана. Это приводит к возникновению на экране двух спектров первого порядка и двух спектров второго порядка, симметрично расположенных относительно центрального максимума (см. рисунок 2.5). Спектры третьего и четвертого порядков накладываются, использовать их для проведения спектральных исследований невозможно. Даже на красный край спектра второго порядка накладывается фиолетовый край спектра третьего порядка.

Дифракционная решетка Г в установке – это фотопластинка, на которую сфотографирован разлинованный черными полосами лист бумаги. Постоянная решетки d=0,01 мм. Она закреплена на конце оптической скамьи, вдоль которой перемещается экран Е. Расстояние между дифракционной решеткой и экраном L измеряется с помощью линейки, закрепленной на оптической скамье. На экран Е также нанесена линейка, с помощью которой измеряется расстояние между светлыми полосами (максимумами) одного цвета Х. Зная Х и L можно определить для каждого цвета длину световой волны, в соответствии с формулой (2.4)

.

Измерения производятся только для спектров первого порядка, k =1. Кут φ₁ достаточно мал, чтобы можно было использовать соотношение

.

Конечная формула для определения длины волны

. (2.6)

 

2.3 Порядок выполнения работы и обработка

результатов измерений

 

1. Установить экран на расстоянии 0,4 м от дифракционной решетки. Включить свет и убедиться, что площадь решетки освещается равномерно. Перемещая линзу Л₂ добиться наибольшей четкости краев центрального максимума и откорректировать его положение в центре экрана. Уменьшить ширину щели до минимальной при условиях наблюдения величины. Осмотреть дифракционную картину на экране, найти положение максимумов различного порядка.

2. Получить у преподавателя 5 значений расстояния L между дифракционной решеткой и экраном, для которых следует произвести измерения. Записать эти значения в таблицу 2.1.

 

Таблица 2.1

N пп	L м	Xф 10^-3 м	λф 10^-7 м	Δλф 10^-7 м	XК 10^-3 м	λк 10^-7 м	Δλк 10^-7 м
Сер

 

3. Для всех значений L измерить расстояние между внутренними, фиолетовыми краями спектров первого порядка X_Ф (смотри рисунок 2.5). Записать пять значений X_Ф в таблицу 2.1.

4. Для всех значений L измерить расстояние между внешними, красными краями спектров первого порядка X_К (смотри рисунок 2.5). Записать пять значений X_К в таблицу 2.1.

5. По формуле (2.6) вычислить 5 значений длины волны фиолетового света λ_ф и 5 значений длины волны красного света λ_к. Вписать значения λ_ф и λ_к в таблицу 2.1.

6. Найти средние значения λ_ф и λ_к, вписать их в таблицу 2.1.

7. найти абсолютные погрешности отдельных измерений λ_ф и λ_к, средние абсолютные погрешности этих величин и вписать все значения в таблицу 2.1.

8. Найти относительные погрешности измерения λ_ф и λ_к, записать результаты измерения λ_ф и λ_к в стандартной форме.

 

2.4 Контрольные вопросы

 

1. Что такое дифракция?

2. В чем сущность принципа Гюйгенса-Френеля?

3. Что такое зоны Френеля? Каким образом выделяются они на сферической волновой поверхности?

4. В каких случаях возникают максимумы и минимумы интенсивности в центре экрана при прохождении света через круглое отверстие?

5. Какова роль линзы в дифракции Фраунгофера на щели и каково взаимное положение линзы и экрана при наблюдении дифракционной картины?

6. Чем определяется в дифракции Фраунгофера ширина центрального максимума и в каком случае щель превращается в линейный источник света?

7. Что такое дифракционная решетка? Что такое постоянная (период) решетки?

8. Какой вид имеет дифракционная картина на экране после прохождения светом дифракционной решетки и собирающей линзы?

9. Для каких целей используются дифракционные решетки? Чем обусловлена возможность их такого использования?

10. Чем определяются положения дифракционных максимумов на экране и чем определяется ширина этих максимумов?

11. Чем отличаются световые волны, соответствующие различным цветам спектра?

 

 

Лабораторная работа № 64