Модель цены опциона на основе стоимости эквивалентного портфеля

Чтобы определить стоимость опциона за один период до окон­чания срока его исполнения, воспользуемся соответствующим об­разом выбранным эквивалентным опциону портфелем акции и об­лигаций, который называется хеджирующим портфелем.

Портфель, составленный из рисковых и безрисковых активов и имеющий те же самые доходы в каждом будущем состоянии эко­номики, что и рассматриваемая рисковая ценная бумага или порт­фель из рисковых активов, называется эквивалентным данной цен­ной бумаге или портфелю.

Эквивалентные портфели формируют из таких рисковых и без­рисковых активов, текущая цена которых известна. Тогда в состоя­нии рыночного равновесия цена рассматриваемой ценной бумаги или портфеля должна совпадать со стоимостью эквивалентного портфеля, поскольку по определению они приносят одинаковые будущие доходы. Можно показать, что если цена опциона отклоня­ется от стоимости эквивалентного портфеля, то возникает возмож­ность извлечения арбитражной (спекулятивной) прибыли за счет совершения операций с опционом и эквивалентным портфелем. Ниже это будет показано на конкретном примере.

Если в качестве рисковой ценной бумаги мы рассматриваем оп­цион на покупку, то учитывая, что доходы от опциона покупателя должны совпадать с доходами от эквивалентного портфеля, можно утверждать, что равновесная цена опциона совпадает со стоимо­стью этого портфеля.

Стоимость эквивалентного портфеля можно определить, зная рыночные цены тех активов, из которых он составлен. На этом ос­нован расчет стоимости опциона покупателя.

Сформируем эквивалентный портфель из акций и облигаций, доходы от которого совпадали бы с доходами от опциона в буду­щем периоде.

Введем дополнительные обозначения:

- количество акций, которое необходимо купить по цене за каждую акцию для формирования эквивалентного портфеля;

- стоимость покупаемых облигаций, если > 0, или стоимость продаваемых облигаций (объем заемного капитала), если <0, ко­торые необходимо купить (продать) для формирования эквивалент­ного портфеля; (1+г) - доход от погашения облигаций (или пога­шение долга и уплата процентов, если < 0) в следующем периоде;

- текущая ставка процента.

Мы хотим найти такие значения х и у, чтобы доход от эквива­лентного портфеля акций и облигаций был таким же, как и доход от опциона покупателя.

Доходы от опциона зависят от цены акций. Если наступает пер­вое будущее состояние экономики, в котором цена акции возраста­ет, то доходы от рассматриваемого эквивалентного портфеля с уче­том сделанных обозначений составят:

.

В силу эквивалентности опциона и портфеля этот доход должен совпадать с доходами по опциону в первом будущем состоянии экономики, и учитывая, что доход от опциона в этом состоянии экономики равен , получаем следующее равенство:

(5.1.)

Во втором состоянии экономики доход от эквивалентного порт­феля составит:

При равенстве доходов от опциона и эквивалентного портфеля и при условии падения цены акции равенство доходов по опциону и эквивалентному портфелю имеет вид:

(5.2.)

Значения и в конце периода, когда заканчивается срок ис­полнения опциона, известны, так как известны характеристики оп­циона и текущая цена обыкновенной акции. Таким образом, имеем два уравнения с двумя неизвестными. Вычитая выражение (5.1) из (5.2), получим уравнение относительно х:

Преобразуя, получим:

(5.3.)

Величина х называется коэффициентом хеджирования, она оп­ределяет, сколько обыкновенных акций нужно купить, чтобы сформировать эквивалентный портфель.

Решим уравнения (5.1) и (5.2) относительно у и получим:

(5.4.)

Один опцион покупателя в каждом из двух будущих состояний экономики позволяет получить такой же денежный доход, как и доход от покупки портфеля из у облигаций и х обыкновенных ак­ций. Поэтому в состоянии равновесия настоящая стоимость (теку­щая цена) опциона и эквивалентного портфеля должны быть одина­ковы. Тогда должно выполняться равенство:

(5.5.)

Стоимость опциона покупателя С должна быть равна стоимости эквивалентного портфеля рх + у, иначе возникает возможность получить на операциях с опционом спекулятивную прибыль.

Для того чтобы определить стоимость опциона покупателя, ока­залось ненужным знание вероятностей наступления обоих будущих состояний экономики. Полученное соотношение показывает, как определить стоимость опциона покупателя, если известны текущая цена акции и текущая ставка безрискового процента без учета ве­роятностей наступления будущих состояний экономики.

Отметим, что, поскольку доходы по опциону и эквивалентному портфелю совпадают в каждом из двух рассматриваемых будущих состояний экономики (см. условия (5.1) и (5.2)), то и риск по оп­циону и эквивалентному портфелю также будет совпадать.

Поясним использование полученных соотношений на следую­щем примере.

Пример 5.1. Пусть текущая цена акции р = 200 руб., цена испол­нения опциона = 250 руб., темп роста цены акции в первом со­стоянии экономики а = 1,4, во втором - b = 0,9, безрисковая теку­щая ставка процента r = 20%.

Тогда доход владельца опциона на покупку в первом состоянии экономики составит:

= max (l,4 * 200 - 250,0) = 30 руб.;

а во втором:

= max (0,9 * 200 - 250,0) = (-70,0)= 0 руб.

Если цена исполнения опциона 250 руб., то стоимость опциона (доход от продажи акции) в конце периода будет либо 30 руб. (при цене акции 240 руб.), либо 0 (при цене акции 225 руб.).

Чтобы найти х и у, воспользуемся уравнениями (5.3) и (5.4).

Так как a - b = 1,4 - 0,9 = 0,5 и = 30 - 0 = 30 руб., то по формуле (5.3) получаем:

=0,3 акции.

Указанный портфель предполагает покупку 0,3 акции.

При использовании формулы (5.4) имеем:

руб.

Отрицательное значение у показывает, что следует использовать заемный капитал, т.е. не покупать, а продавать собственные обли­гации со сроком погашения в один период. Портфель, эквивалент­ный опциону, должен включать 0,3 обыкновенной акции на сумму 0,3 * 200 = 60 руб. и заем или выпуск облигаций на сумму 45,0 руб.

Определим доходы от этого портфеля в каждом будущем со­стоянии экономики.

Таблица 5.1.- Доходы эквивалентного портфеля

Состояние экономики	Доходы по акциям	Погашение долга и уплата процентов	Итого
Первое Второе	0,3*280=84 руб. 0,3*180=54 руб.	-45*1,2 =54 руб. -45*1,2 =54 руб.	30 руб. 0 руб.

 

Доход по опциону, как очевидно из данных табл. 5.1, совпадает с доходами по эквивалентному портфелю. Тогда первоначальная стоимость опциона совпадает со стоимостью этого портфеля и по условию получаем:

=200*0,3-45 =60-45= 15руб.

0,3 акции стоят 60 руб., для их оплаты 45 руб. взяты в долг под 20%.

Если опцион продается на рынке по цене, отличной от 15 руб., то инвестор, знающий, какова структура эквивалентного портфеля, может без всякого риска получить прибыль на арбитражных сдел­ках. Например, пусть опцион продается за 20 руб. Так как цена оп­циона завышена, инвестор будет заключать арбитражные сделки, продавая (надписывая) опционы на продажу. Человек, продающий опционы на продажу, обязан иметь акцию в следующем периоде, чтобы продать ее в случае исполнения опциона. В крайнем случае можно купить акцию на будущем текущем рынке. Чтобы получить дополнительный доход, инвестор должен поступить следующим образом. В нулевом периоде инвестор продает опцион на продажу, покупает 0,3 обыкновенной акции по цене 200 руб. за акцию и бе­рет в долг 45 руб. в момент продажи опциона покупателя. Тогда в нулевой период итоговое сальдо доходов и расходов составит: -0,3*200+45+20 =-60+45+20 =5 руб.

Если наступит первое будущее состояние экономики, и цена ак­ции поднимется до 280 руб., то опцион будет исполнен. Если у ин­вестора нет этой акции, то он купит ее рынке за 280 руб., и продаст ее в соответствии с условиями опциона по цене исполнения, равной 250 руб. Одновременно он продаст 0,3 акции на рынке за 0,3 • 280 = =84 руб., и вернет долг и уплатит проценты в сумме 1,2-45 =54 руб. Сальдо его доходов и расходов в условиях данного состояния экономики будет равно:

0,3*280-1,2*45+280-250=84-54-280+250=0.

Если наступает второе будущее состояние экономики, и цена акции составляет 180 руб., то опцион покупателя не будет испол­нен, и инвестор продаст 0,3 акции по рыночной цене и использует полученные деньги на погашение долга и уплату процентов. В этом случае денежный поток в первый период составит: 0,3*180-1,2*45=54-54=0.

Соответствующие действия инвестора и итоговые денежные по­токи, позволяющие извлечь 5 руб. арбитражного дохода в нулевой период, представлены в табл. 5.2.

Следовательно, если цена опциона завышена, то инвестор может продавать опционы покупателя и без всякого риска получать гаран­тированную прибыль, равную разнице между рыночной ценой и чистыми расходами на покупку хеджированного рыночного порт­феля. Если цена опциона меньше расходов на покупку эквивалент­ного портфеля, то инвестор заключит сделки, противоположные только что описанным: продаст 0,3 акции за 60 руб., купит облига­ции на сумму 45 руб. под 20%, купит опцион покупателя. Предположим, что опцион можно купить за 12 руб. Действия инвестора, а также соответствующие денежные потоки в нулевой период и в первом периоде в каждом будущем состоянии экономики приведе­ны в табл. 5.3.

Таблица 5.2.- Формирование арбитражного дохода в нулевой период (руб.)

Действия	Период
1 состояние экономики	2 состояние экономики
Продажа опциона на продажу
Продажа акции по опциону
Покупка акции по текущему курсу		-280
Покупка 0,3 акции	-60
Продажа 0,3 акции
Заем капитала
Погашение кредита		-54	-54
Итого

Данные табл. 5.3 показывают, что и в случае, когда стоимость опциона меньше стоимости эквивалентного портфеля, существует возможность в нулевой период извлечь дополнительный доход при нулевых чистых инвестициях. Короче говоря, и в том и в другом случае у инвестора (арбитражера), занимающегося арбитражными (спекулятивными) операциями на рынке с акциями и опционами, появляется возможность получить гарантированную прибыль, если только цена опциона отличается от расходов на покупку получен­ного эквивалентного портфеля. Арбитражеры продают опционы покупателя, когда цена этих опционов завышена, и покупают их, когда их цена занижена; тем самым они, увеличивая спрос или предложение на рынке опционов, понижают или увеличивают цену опциона, и не дают рыночной цене опциона существенно откло­няться от рыночной стоимости эквивалентного соответствующего портфеля. Такой подход к определению стоимости опциона поку­пателя известен под названием арбитражной оценки.

Таблица 5.3.- Формирование арбитражного дохода в нулевой период (руб.)

Действия	Период
1 состояние экономики	2 состояние экономики
Покупка опциона на продажу	-12
Покупка акции по опциону		-250
Продажа акции по текущему курсу
Продажа 0,3 акции
Покупка 0,3 акции		-84	-54
Покупка облигации	-45
Погашение облигаций
Итого

 

В условиях данного примера (см. табл. 5.2 и 5.3) показана воз­можность построения арбитражных портфелей, позволяющих из­влекать дополнительную прибыль в нулевой период при нулевых доходах в первом периоде.

, (5.6.)

,

где m - количество раз возрастания цены с темпом роста а и соот­ветственно,

t-m с темпом роста b; остальные обозначения со­хранены.

Формула (5.6) верна только при условии, что выбрано такое наименьшее целое m, что рыночная цена базового актива опциона в период t будет больше, чем цена исполнения по опциону, т.е. опци­он будет обязательно исполнен. Формально это означает, что

.

Формула (5.6) показывает, что стоимость опциона за t периодов до исполнения также не зависит от вероятностей наступления вы­деленных будущих состояний экономики, а определяется только в зависимости от ожидаемых значений цены базового актива - пред­мета опциона - в каждый будущий период.

Аналогично можно провести исследование опциона на продажу, который предоставляет владельцу право продать активы (англ. put option). Точнее, опцион продавца - это контракт, дающий его вла­дельцу право продать определенное имущество по фиксированной цене в обусловленный день или в течение обусловленного срока. Так же, как бывают американские и европейские опционы покупа­теля, существуют и американские и европейские опционы продав­ца, дающие владельцу право продать имущество в любой момент до оговоренной даты (американский опцион) или только в оговоренный день (европейский опцион). Модели того же типа, что были использованы для оценки опционов покупателя, можно применить и для оценки опционов продавца. В своей основе подход аналоги­чен. Формируется эквивалентный портфель, который принесет та­кой же доход, как и опцион продавца. Стоимость опциона продавца равна стоимости эквивалентного портфеля. Исследование полной теории оценки опционов выходит за рамки этого учебного пособия.

Контрольные задания

6. Определите стоимость опциона на покупку акций, если теку­щая цена акции составляет 100 руб.; цена исполнения опциона рав­на 120 руб.; при благоприятной конъюнктуре рынка цена акции возрастает на 30%; при неблагоприятной - падает на 20%; безрис­ковая ставка процента равна 25%.

4. Приведите пример получения арбитражного дохода при усло­вии, что цена опциона на покупку акции отклоняется от стоимости эквивалентного портфеля в условиях задания 6.

 

 

КРАТКИЙ СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ

А

Анализ сценариев будущего развития - метод анализа риска реализации долгосрочного инвестиционного проекта, опирающийся на общие представления о возможном развитии хозяйственной конъюнктуры, предусматривающий исследование весьма ограни­ченного числа сценариев ее развития, которые должны описывать наиболее характерные версии будущей реализации рассматриваемо­го проекта.

Б

Будущее состояние экономики - одно из ожидаемых сочетаний рыночной конъюнктуры и всех факторов, оказывающих влияние на рассматриваемые рисковые активы, которое может наступить в бу­дущем периоде; в каждом будущем состоянии экономики доход по рисковому активу может быть определен однозначно. Набор буду­щих состояний экономики используется для описания будущих доходов по рисковым активам; неопределенность связана с тем, что заранее неизвестно, какое будущее состояние экономики наступит.

В

Внешние факторы риска - факторы риска, действующие во внешней окружающей предпринимателя среде.

Внутренние факторы риска -факторыриска, действующие внутри фирмы.

Внутрифирменный риск - риск инвестиционного проекта при условии его осуществления в рамках инвестиционной программы фирмы.

Г

Гарантированный эквивалент - а) сумма средств, которая для данного лица эквивалентна заданному распределению рисковых доходов; б) сумма средств, которую данное лицо согласно запла­тить за право получения рисковых доходов.

Д

Дерево решений - представление возможностей реализации долгосрочного инвестиционного проекта в виде ориентированного графа (дерева), ветви которого описывают возможные варианты изменения условий исполнения проекта под влиянием внутренних и внешних факторов.

Длинная позиция - позиция, которую занимает покупатель (собственник) индивидуального или рыночного условного срочного контракта; предполагает возможность выбора исполнения или не исполнения условии этого контракта; противоположная сторона, которая занимает короткую позицию, обязана исполнить его реше­ние.

К

Короткая позиция - позиция, которую занимает продавец ин­дивидуального или рыночного условного срочного контракта;

предполагает исполнение условий этого контракта по выбору про­тивоположной стороны, которая занимает длинную позицию.

Коэффициент вариации - мера риска, представляющая собой отношение стандартного отклонения к ожидаемому доходу.

М

Мера риска - количественное выражение степени колеблемости распределения доходов по соответствующему активу портфелю, проекту и т.п. или оценка влияния фактора риска на величину до­ходов и иного полезного результата; часто меру риска называют просто риском.

Метод сценариев будущего развития - метод оценки риска проектов долгосрочных инвестиций, основанный на выделении ос­новных направлений развития будущей рыночной конъюнктуры сценариев будущего развития, формирование которых опирается на ожидания инвестора или иного лица, принимающего решения отно­сительно возможных изменений рыночной конъюнктуры и субъек­тивные вероятности их наступления; предполагает фиксацию усло­вий каждого сценария на весь период исполнения проекта.

О

Опцион - рыночный срочный контракт, предоставляющий его владельцу право выбора исполнения его условий в течение уста­новленного периода (американский опцион) или только в его конце (европейский опцион).

П

Премия за риск - а) прирост ожидаемой доходности портфеля (или отдельного рискового актива) по сравнению с безрисковой ставкой процента; б) субъективная добавка к ставке расчетного процента.

Р

Риск - а) колеблемость или неоднозначная определенность до­ходов и иных полезных будущих результатов под влиянием сово­купности внутренних и внешних факторов; б) колеблемость или неоднозначная определенность доходов и иных полезных будущих результатов под влиянием одного фактора (факторный риск); в) шанс (вероятность) наступления нежелательного исхода бизнеса, например банкротства; г) мера риска, например стандартное откло­нение и др.

Реальный опцион - условный срочный контракт, который дан­ная фирма заключает с целью снизить риски по проекту; вторая сторона обязуется выполнить требования договора, если в буду­щем наступают оговоренные заранее условия; за это фирма платит в момент заключения контракта определенную сумму - стоимость реального опциона.

С

Стандартное отклонение - мера риска, представляющая корень квадратный из дисперсии распределения доходов по рисковому ак­тиву, портфелю, проекту и т.п. и характеризующая распределение этих доходов относительно их ожидаемого значения; с теоретиче­ской точки зрения может использоваться в том случае, когда рас­пределение доходов подчиняется нормальному закону.

Х

Хеджирование риска изменения цен - передача риска измене­ния цен другому лицу в форме продажи срочного контракта, на­пример опциона.

Библиографический список

1. Балабанов И.Т. Основы финансового менеджмента. Как управлять экономикой – М.: Финансы и статистика, 2007. - с. 568.

2. Тактаров Г.А. Финансовая среда предпринимательства и предпринимательские риски.- М.: Финстатаинформ,2008.- 467с.

3. Шелопаев Ф.М. Финансы, денежное обращение и кредит: Краткий курс лекций. - М.: Юрайт-Издат, 2007. - 278 с.

4. Федорова Е.А. Финансовая среда предпринимательства и предпринимательские риски: учебное пособие / Е.А. Федорова, Ф.М. Шелопаев, А.И Ермоленко. – М.: КНОРУС, 2010. – 360 с.