Последовательность расчета погрешности

Прямых измерений

Обобщая изложенное выше, можно предложить следующую схему расчетов результатов нескольких прямых измерений.

1. Вычислить по (2.8) среднее арифметическое измеряемой величины.

2. Рассчитать по (2.9) абсолютные погрешности резу­льтатов отдельных измерений.

3. Определить по (2.10) среднее арифметическое абсолю­тных погрешностей.

4. Отбросить из серии измерений те значения измеренных величин, абсолютная погрешность которых вдвое превышает среднюю абсолютную погрешность

5. Повторить п. 1…3 для оставшихся после исключения промахов значений измеренных величин.

6. Определить инструментальную погрешность измерений по (2.7) как половину цены деления измерительного инструмента.

7. Если вычисленные и сравнимы, то для оп­ределения суммарной абсолютной погрешности измерений следует их сложить по (2.3). Если указанные выше погрешности отличаются более чем в четыре раза, то меньшей следует пренебречь по (2.4) или (2.6).

8. Записать окончательный результат:

. (2.17)

Довольно часто в лабораторном практикуме проводятся однократ­ные измерения величин. Очевидно, что в этом случае нет возможнос­ти рассчитать случайную погрешность измерений . Следовате­льно, суммарная абсолютная погрешность измерений будет равна инструментальной погрешности . Таким образом: СУММАРНАЯ АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ОДНОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ РАВНА ПОЛОВИНЕ ЦЕНЫ ДЕЛЕНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ИНСТРУМЕНТА.

Для лучшего усвоения материала рассмотрим конкретный пример расчета абсолютной погрешности прямых измерений.

ПРИМЕР 1

С помощью "плотницкого" метра с сантиметровыми делениями бы­ла измерена длина l и ширина b комнаты. При трехкратных измере­ниях получены следующие результаты:

l ₁=10,00 м; l ₂=10,02 м; l ₃=9,99 м; || b ₁=5,01 м; b ₂=5,00 м; b ₃=4,98 м.

1. Средние значения измеряемых величин:

м; || м.

2. Абсолютные случайные погрешности каждого из измерений:

м; || м;

м; || м;

м; || м.

3. Средние абсолютные случайные погрешности:

м; м.

4. Удвоенные абсолютные погрешности длины и ширины составляют 0,024м. Ни одна из погрешностей измерений в п.2 не превышает этого значения. Следовательно, в данных сериях измерений длины и ширины промахи отсутствуют.

5. Инструментальная погрешность измерений "плотницким" метром составляет половину цены деления, т.е.:

м; || м.

6. Случайная и инструментальная погрешности сравнимы, поэтому суммарная абсолютная погрешность равна их сумме:

м; || м.

7. Окончательный результат измерений:

м; || м.

Видно, что в данном примере абсолютные погрешности измерений длины и ширины одинаковы. Возникает вопрос: что же измерено точнее, длина или ширина? Для ответа на этот вопрос воспользуемся понятием относительной погрешности. Рассчитаем ее по (2.2):

||

Выразим относительную погрешность в процентах:

||

Отсюда видно, что измерение длины проведено более точно, т.к. абсолютная погрешность длины от самой длины составляет только 0,2%, в то время как абсолютная погрешность ширины по отношению к самой ширине вдвое больше.

На этом примере проявляется смысл понятия относительной погре­шности: ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПОКАЗЫВАЕТ, КАКУЮ ДОЛЮ ОТ САМОЙ ВЕЛИЧИНЫ СОСТАВЛЯЕТ ЕЕ АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ.

Относительная погрешность является безразмерной величиной. Поэтому с ее помощью можно сравнивать точность не только однород­ных измерений, как в данном примере (длина и ширина имеют одну единицу измерений - метр), но и неоднородных. Это широко используется при определении погрешностей косвенных измерений.

2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ

КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

В большинстве случаев при проведении экспериментов не удает­ся непосредственно измерить интересующую нас величину. Чаще все­го измеряют другие величины, а затем вычисляют искомую величину, которая является функцией измеренных. Например, необходимо опре­делить площадь комнаты. Комната имеет правильную геометрическую форму, поэтому проще всего получить площадь как произведение дли­ны на ширину.

Однако и длина, и ширина комнаты измерены с определенной по­грешностью (см. Пример 1). Очевидно, что не может быть рассчитана и точная площадь. Причем величина погрешности площади зависит от точности измерения длины и ширины. Поэтому для определения по­грешности расчетной величины необходимо установить взаимосвязь этой погрешности с погрешностями измеренных величин. В данном случае следует вывести формулу, связывающую погрешность площади с погрешностями длины и ширины.

ФОРМУЛЫ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЯЕМЫХ ВЕЛИЧИН С ПО­ГРЕШНОСТЯМИ ИЗМЕРЯЕМЫХ ВЕЛИЧИН, НАЗЫВАЮТСЯ ФОРМУЛАМИ ПОГРЕШ­НОСТЕЙ.

Формулы погрешностей выводятся исходя из РАБОЧИХ ФОРМУЛ, т. е. формул, связывающих вычисляемые величины с измеряемымИ.

Один из способов вывода формул погрешностей основан на следующих сообра­жениях. Относительная погрешность величины z по (2.2):

. (2.18)

С другой стороны:

. (2.19)

Перейдя к небольшим конечным приращениям, (2.19) можно переписать:

. (2.20)

Сравнивая (2.18) и (2.20), получаем:

. (2.21)

Таким образом, формулу погрешностей можно вывести, взяв диф­ференциал натурального логарифма рабочей формулы. Поэтому для вы­вода формулы погрешностей рабочую формулу логарифмируют и полу­ченное выражение дифференцируют. Чтобы погрешность была макси­мальной, все знаки "минус" меняют на знаки "плюс", вместо значков диффе­ренциала " d " ставят значки абсолютных погрешностей "Δ", над все­ми символами измеряемых величин ставят значок "–", означающий, что берутся средние значения этих величин.

ПРИМЕР 2

Рабочая формула:

,

,

.

Формула погрешностей:

.

ПРИМЕР 3

Рабочая формула:

,

,

(т.к. 4 и π постоянные).

Формула погрешностей:

.

Чтобы каждый раз при необходимости не выводить формулу грешностей, можно пользоваться табл. 2.2.

При выводе формулы погрешностей следует руководствоваться правилом:

Таблица 2.2

Простейшие рабочие формулы и соответствующе им формулы погрешностей.

 

Вид рабочей формулы	Вид формулы погрешностей

В ОКОНЧАТЕЛЬНУЮ ФОРМУЛУ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВХОДЯТ ПОГРЕШНОСТИ ТОЛЬКО ТЕХ ВЕЛИЧИН, КОТОРЫЕ ИЗМЕРЯЮТСЯ В ДАННОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ. Это правило можно обосновать с двух точек зрения. Во-первых, диффе­ренциалы постоянных величин равны нулю (см. Пример 3). Во-вторых, очевидно, что погрешность расчетной величины в первую очередь зависит от погрешностей измерений, т. к. погрешности табличных вели­чин, как правило, много меньше погрешностей измерений в лабораторном практикуме.

Расчетную величину, как и результат прямых измерений, представляют с учетом абсолютной погрешности:

. (2.22)

Абсолютную погрешность расчетной величины можно легко вычислить, зная среднее значение величины и относительную погрешность, вычисленную по формуле погрешностей. Действительно, из (2.18):

. (2.23)

Следует отметить, что приведенные в таблице формулы погреш­ностей не совсем корректны. Они предполагают максимально возмож­ную погрешность, т. е. случай, когда ошибки измерений всех вели­чин допущены в одну сторону и складываются. На самом деле погреш­ности измерений различных величин допускаются для одних - в мень-шую, для других - в большую сторону по сравнению со средними зна­чениями. Поэтому суммарная погрешность расчетной величины z бу­дет несколько меньше максимальной, указанной в таблице.

Для получения точной формулы погрешностей необходимо каждое слагаемое формулы, взятой из таблицы, возвести в квадрат и из получившегося выражения извлечь квадратный корень. Например, для рабочей формулы точная формула погрешностей будет:

Однако в лабораторном практикуме можно пользоваться и неоткорректированными формулами погрешностей из табл. 3.

Последовательность расчета