Введение в практикум по физической химии. Методические указания тольятти 2004

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Химико-биологический факультет

ВВЕДЕНИЕ В ПРАКТИКУМ

ПО ФИЗИЧЕСКОЙ ХИМИИ

Методические указания

Тольятти 2004

УДК 544

ББК 24.53 Я73

О 76

Введение в практикум по физической химии: Метод. указания/ Сост. Остапенко Г.И. – ТГУ, 2004. - 50 с.

 

В настоящих методических указаниях изложен порядок подготовки к лабораторным работам, рекомендации по выполнению экспериментов, обработке результатов работ и оформлению отчетов.

Целью настоящих методических указаний является также ознакомление студентов с основными положениями теории погрешностей в объеме, необходимом для оформления результатов измерений при выполнении лабораторного практикума по физической химии.

Приведены как простейшие способы определения погрешностей изме­рений, так и основы современных методов статистической обработки экспериментальных данных.

Приведены некоторые прие­мы графического анализа экспериментальных данных. С учетом того, что наиболее распространенный способ обработки данных методом на­именьших квадратов подробно описан во многих пособиях и учебни­ках, здесь внимание уделено простейшим методам получения "наилуч­шей" прямой. Изложение дополнено конкретными примерами осуществления этих способов.

 

 

Составитель: д.х.н., проф. Остапенко Г.И.,

 

Научный редактор д.х.н., проф. Щукин В.П.

 

УДК 544

ББК 24.53 Я73

 

© Тольяттинский государственный университет, 2004

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Ц Е Л И И З А Д А Ч И П Р А К Т И К У М А..............
1. ЭТАПЫ РАБОТЫ В ПРАКТИКУМЕ...................
1.1. Подготовка к лабораторной работе.....................
1.2. Выполнение экспериментов...........................
1.3. Обработка экспериментальных данных.................
1.3.1. Приближенные вычисления........................
1.3.2. Построение графиков.............................
1.4. Защита работы......................................
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.........................................
2.1. Основные понятия теории погрешностей................
2.2. Определение погрешностей прямых измерений...........
2.2.1. Определение инструментальной ошибки.............
2.2.2. Определение случайной погрешности................
2.2.3. Обнаружение промахов...........................
2.2.4. Последовательность расчета погрешности прямых измерений................................
2.3. Определение погрешностей косвенных измерений........
2.3.1. Последовательность расчета погрешности косвенных измерений.............................
3. ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕ- РЕНИЙ..............................................
3.1. Уравнение линейной зависимости.....................
3.2. Простейшие методы получения "наилучшей прямой".....
3.2.1. Получение "наилучшей" прямой при неизвестных погрешностях измерений.........................
3.3.2. Получение "наилучшей" прямой при известных погрешностях измерений..........................
3.3. Графический анализ нелинейных зависимостей..........
Л И Т Е Р А Т У Р А......................................
П Р И Л О Ж Е Н И Я.....................................

Ц Е Л И И З А Д А Ч И П Р А К Т И К У М А

Основными целями физико-химического практикума являются:

1. Более глубокое усвоение лекционного материала, непосредственное ознакомление студентов с рядом физико-химических явлений и закономерностей;

2. Выработка общего подхода к решению экспериментальных задач, овладение методикой обработки опытных данных,

К концу практикума студент должен уметь:

· разрабатывать методику проведения опытов для решения несложных экспериментальных задач,

· правильно подобрать приборы для опытов,

· грамотно вести журнал наблюдений,

· рассчитывать погрешности измерений,

· графически анализировать результаты измерений,

· интерпретировать экспериментальные данные с указанием выводов по работе.

Для этого студент должен знать:

· лекционный материал,

· основы теории погрешностей,

· методы графической обработки экспериментальных данных,

· правила приближенных вычислений,

· основные типы измерительных инструментов и приборов.

ЭТАПЫ РАБОТЫ В ПРАКТИКУМЕ

1.1. ПОДГОТОВКА К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

Лабораторный практикум включает два вида работы: самостоятель­ную подготовку во внеурочное время и работу в учебной лаборатории во время занятий. Причем большая часть работы (подготовка и офор­мление) выполняется самостоятельно. В течение одного четырехчасового лабораторно­го занятия студент должен выполнить эксперимент лабораторной рабо­ты и, как правило, отчитаться по одной из ранее выполненных работ.

Готовиться к лабораторной работе нужно заранее. Для этого у лаборанта лаборатории берут описание работы согласно индивидуальному графику выполнения работ. Описание работы необходимо внимательно прочитать, продумать ход экспериментов и форму записи результатов измерений. После это­го конспектируют описание в специальную тетрадь (лучше всего 48 листов) для лабораторных работ. Конспект должен содержать:

1. Название и порядковый номер работы.

2. Кратко сформулированную цель работы.

3. Перечень необходимого оборудования и приборов.

4. Теоретическое введение к работе.

Введение, как правило, должно содержать вывод рабочей формулы с пояснениями величин, входящих в нее. При необходимости во введении по­мещают рисунки, схемы, графики и т.д.

5. Последовательность выполнения и обработки экспериментальных результатов.

Получается, что конспект должен содержать все материалы, необходимые для последующей обработки экспериментальных данных.

1.2. ВЫПОЛНЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Очень часто, особенно первое время, студент не успевает за занятие выполнить запланированный объем работы. Поэтому в учеб -ной лаборатории нужно работать четко и быстро, не теряя времени.

Выполнение экспериментов по времени можно разделить на не­сколько этапов (на первом занятии студент предварительно должен ознакомиться с правилами поведения в учебной лаборатории и тех -никой безопасности, изложенной в Приложении 1):

1. Преподаватель проверяет лабораторную тетрадь, в которой
должен быть конспект работы. При отсутствии конспекта студент не допускается к работе.

2. Студенты на рабочих местах знакомятся с оборудованием,
при необходимости собирают экспериментальные установки, электрические схемы и т.д., при необходимости продумывают и чертят в paбочей тетради таблицу для занесения результатов измерении.

Таблицу составляют так, чтобы в вертикальных столбцах размещались численные значения одной физической величины. Вверху столбца пишут символ величины и, через запятую, единицу измерения величины. Если проводятся многократные измерения величины, то рядом в таблице должен быть столбец абсолютных погрешностей этой величины.

Каждая горизонтальная строка должна содержать численные зна­чения различных величин, относящихся к одному опыту. В левой ча­сти строки проставляется номер опыта. Нижняя строка таблицы за­полняется средними значениями величин и их погрешностей.

Например, пусть проводятся многократные измерения тока I и напряжения U на проводнике. Таблица измерений может быть следующей:

№ опыта	U, В	Δ U, В	I, A	Δ I, A
Среднее

3. На рабочих местах преподаватель проводит краткий опрос, в ходе которого выясняется, как понимает студент цель работы, какие величины измеряются, в какой последовательности проводятся измерения, правильность составления таблицы и т.д.

4. Преподаватель задает конкретные условия опытов (температуру, время, величину тока, напряжения и т.д.). Такие условия в описаниях работ отмечены замечанием: «по указанию преподавателя».

5. Студент тщательно проводит эксперименты. Результаты измерений сразу заносит в таблицу. ЧИСЛЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН СЛЕДУЕТ ЗАНОСИТЬ В ТАБЛИЦУ В ТЕХ ЕДИНИЦАХ ИЗМЕРЕНИЯ, В КОТОРЫХ ПРОГРАДУИРОВАН ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ ПРИБОР ИЛИ ИНСТРУМЕНТ.

Измерения проводят с максимальной точностью, которую позво­ляет измерительный инструмент. Поэтому результаты ИЗМЕРЕНИЯ ЗАПИ­СЫВАЮТ В ТАБЛИЦУ С ТОЧНОСТЬЮ ДО ОДНОГО ДЕЛЕНИЯ ШКАЛЫ ПРИБОРА.

Для расчета инструментальной (приборной) погрешности НУЖНО ЗАПИСАТЬ ЦЕНУ ДЕЛЕНИЯ ВСЕХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ И ИНСТРУМЕНТОВ.

6. Студент подписывает у преподавателя результаты измерений.
Неверно выполненные эксперименты по распоряжению преподавателя переделывают вновь. ПОДПИСЬ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ НА ТАБЛИЦЕ ИЗМЕРЕНИЙ ЯВЛЯЕТСЯ ЕДИНСТВЕННЫМ СВИДЕТЕЛЬСТВОМ ТОГО, ЧТО СТУДЕНТ БЫЛ НА ЗАНЯТИИ И ВЫПОЛНЯЛ ЭКСПЕРИМЕНТЫ.

7. Наводят порядок на рабочем месте, т.е. по указанию лаборанта сливают растворы, моют посуду, разбирают установку и т.д. Сдают лаборанту те приборы, которые получили у них в начале работы.

8. В оставшееся время студент должен, как правило, отчитаться по одной из выполненных ранее работ.

1.3. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Обработка опытных данных и оформление результатов измерений производится, как правило, во внеурочное время. При обработке экспериментальных результатов следует пользоваться указаниями по оценке погрешностей измерений (глава 2).

Нужно помнить, что ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ НЕОБХОДИМО ВЫРАЖАТЬ ВСЕ ЧИСЛЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН В СИСТЕМЕ ЕДИНИЦ СИ. Несоблюдение этого правила приводит к потерям времени на неверный результат.

Если целью работы является получение единственного численного значения физической величины, то это значение представляет­ся в виде:

(1.1)

где: - усредненное значение величины, - ошибка результата.

При небольшом числе измерений n, например n ≤ 5, ошибку мож­но вычислить как среднее значение абсолютной погрешности. При большем n, например n ≥ 10, ошибку целесообразно определять по методу Стьюдента.

Если целью работы является исследование зависимости физиче­ской величины от другой величины, то результаты измерений следу­ет обработать графически (глава 3) и, по возможности, представить в виде уравнения прямой:

. (1.2)

В простых экспериментах с малым числом измерений (n ≤ 5) целесообразно использовать простые методы графической обработки, например, метод парных точек. В экспериментах с большим числом измерений и необходимости получения более точных значений иссле­дуемых параметров, следует воспользоваться методом наименьших квадратов. Все расчеты (кроме расчетов средних значений и погреш­ностей прямых измерений, которые представлены в таблице), следу­ет проводить под таблицей измерений. При вычислениях сначала за­писывают формулу, затем подставляют в нее численные значения величин и только после этого представляют результат.

При графической обработке методом парных точек вспомогатель­ные прямые на график наносить не обязательно. Следует использовать координаты парных точек из таблицы.

Получив окончательный результат эксперимента в виде (1.1), (1.2) или графика, необходимо сделать выводы по работе. Hужнo попытаться ответить на следующие вопросы:

1. Согласуется ли результат с теорией или табличными данными?

Ответ будет положительным, если табличная или теоретическая величина находится внутри экспериментального доверительного интервала. В противном случае присутствует систематическая ошибка эксперимента. Тогда необходимо указать возможные источники систе­матических ошибок. Если результатом работы является график, то обязательно следует указать области величин, где эксперименталь­ная зависимость соответствует теоретической, и где не соответст­вует.

2. Если относительная погрешность результата составляет более 5...10%, то эксперимент следует признать неудовлетворительным. В этом случае необходимо осветить следующие вопросы:

· какое измерение дает наибольший вклад в погрешность результата?

· какие погрешности, случайные или инструментальные, преобладают в эксперименте?

Ответы на эти вопросы нужно записать в лабораторной тетради под заголовком "Выводы" после расчетов и графиков.

При оформлении результатов работы следует руководствоваться изложенными ниже правилами.

Приближенные вычисления.

Главное правило при обсчете результатов эксперимента: ТОЧНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ, В ТОМ ЧИСЛЕ И ТОЧНОСТЬ ОКОНЧАТЕЛЬНОГО РЕЗУЛЬ­ТАТА РАСЧЕТА, ДОЛЖНА СООТВЕТСТВОВАТЬ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ.

Следствие из этого правила:

ТОЧНОСТЬ ОКОНЧАТЕЛЬНОГО РЕЗУЛЬТАТА ВЫЧИСЛЕНИЙ ДОЛЖНА СОСТВЕТСТВОВАТЬ ТОЧНОСТИ САМОГО ГРУБОГО ИЗМЕРЕНИЯ.

Нельзя огрублять результат путем необоснованного округления расчетов, не нельзя и искусственно, оставляя все цифры после арифметических действий, завышать точность результата по сравне­нию с точностью экспериментов.

Результат любого измерения и любого эксперимента представля­ет собой приближенное число. Даже дробь 1/3 в десятичной системе исчисления становится приближенной. Результат любой математической операции с приближенными числами есть приближенное число, в котором могут появиться неверные цифры, которые следует отбросить.

Математическая операция с верной и неверной цифрами дает не­верную цифру, а верной цифры с сомнительной даст сомнительную.

Поэтому результат вычисления не может быть точнее самого неточно­го числа в серии исходных чисел. Следовательно, округлять нужно не только числа окончательных результатов, но и исходные числа и числа промежуточных расчетов.

Приближенные числа принято записывать так, чтобы ошибка по­следней цифры не превышала десяти единиц соответствующего разряда. Тогда все цифры записанного числа, кроме последней, будут верными. Последняя цифра будет сомнительной, а все цифры за сомнительной - неверными.

При записи окончательного результата все неверные цифры отбрасываются с соблюдением правил округления. Например, если результат измерения равен 1,2345, а ошибка 0,02, то окончательный результат будет 1,23 ± 0,02, т.е. отброшены две неверные цифры, оставлены две верные цифры и одна сомнительная.

Если приближенное число входит в расчетную формулу, в нем сохраняют в качестве запасной одну неверную цифру. Так, число 1,2345 превращается в 1,234, где цифра 4 запасная.

Напомним правила округления.

1. Если первая отбрасываемая цифра равна или больше пяти, то
последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу (1,2346 ≈ 1,235). Если отбрасываемая цифра меньше пяти, то последняя цифра
остается без изменения (1,234 ≈ 1,23).

2. При округлении целых чисел всe цифры, отброшенные при
округлении, заменяются множителем 10 ⁿ, где n - количество отброшенных чисел. Например:

12345 ≈ 12 ×10³;

20234 ≈ 20 ×10³;

10234 ≈ 10 ×10³.

При округлении десятичных дробей неверные цифры просто от­брасываются (1,2345 ≈ 1,23). Их нельзя заменить нулями, так как нуль в конце десятичной дроби говорит о ее точности. В числе 1,25 три верные цифры, а в числе 1,250 - четыре.

При расчетах с приближенными числами следует соблюдать пра­вила округления результатов вычислений. Рассмотрим некоторые из этих правил:

1. При сложении и вычитании сначала все слагаемые округляют­ся до сомнительной цифры, стоящей в высшем разряде, а затем про -
изводится сложение (1,23 + 0,1234 + 0,01234 ≈ 1,23 + 0,12 + 0,01
= 1,36). Следует заметить, что при вычитании близких по величине
чисел возможна потеря точности. Например:

1,2345 - 1,2334 = 0,0011.

В операции вычитания участвуют числа, имеющие по пять значащих цифр, а в результате получено число с двумя цифрами, из которых только одна верная (В таком случае нужно изменить или методику эксперимента или способ расчета так, чтобы операция вычитания в вычислениях отсутствовала).

2. При умножении и делении в полученном результате должно
быть столько значащих цифр, сколько их содержится в одном из ис­ходных чисел с наименьшим количеством цифр. Поэтому все исходные числа округляются, но при этом, если это может повлиять на результат, оставляется одна запасная цифра. Например:

0,012345×12,3 ≈ 0,0123×I2,3 ≈ 0,151.

3. При возведении в степень и исчислении корня у полученного
числа оставляется столько цифр, сколько их имеется в основании.
Например: 1,23² ≈ 1,51.

В числе, полученном после извлечения корня любой степени, оставляется столько значащих цифр, сколько их было в числе под корнем. Например: .

4. При логарифмировании в мантиссе полученного числа сохра­няется столько значащих цифр, сколько их было в логарифмируемом числе. Например: ln 10,00 = 2,30.

Еще раз следует напомнить, что точность результатов вычисле­ний ограничивается точностью измерений. Математические действия дают гораздо большее число значащих цифр, чем то, которое отвеча­ет точности эксперимента и которое зависит от различного рода ошибок.

Построение графиков

1. Графики следует чертить на миллиметровой бумаге или, в красном случае, на тетрадном листе в клетку.

2. По вертикальной оси откладывают исследуемую величину, по горизонтальной - величину, от которой зависит исследуемая.

3. Интервалы изменения переменных по обеим осям выбираются независимо друг от друга так, чтобы была представлена лишь экспе­риментально исследованная область измеренных величин, а сам гра­фик занимал бы практически все поле чертежа. Начало и конец от­счета каждой из осей определяется наименьшим и наибольшим значениями переменной, не обязательно начинать оси из нуля координат.

4. Масштаб на осях должен быть РАВНОМЕРНЫМ, т.е. равные отрезки на осях должны содержать одинаковые количества единиц величины.

Масштаб должен быть простым, т.е. кратным 1,2,5 или 10 еди­ницам величины.

5. На концах осей указываются символы величин и, через запятую, единицы измерения. Например: " I, A", " U, В" и т.д. Если на оси проставляется логарифм величины, то единица измерения величины ставится в квадратных скобках.

Если единица масштаба содержит много нулей, то следует выражать ее в виде: N ×10^{± n}. Тогда на осях откладываются величины N, а множитель, определяющий порядок величин, включается в единицу измерения, например: " I, 10^-6 А" или " I, мкА", " U, 10³" или " U, кВ". (десятичные приставки см. Приложение 4).

6. Точки на график наносят точно и тщательно, обводят их
каким либо знаком (×, ○, ●, □, ■).

7. Погрешности указывают для одной или обеих откладываемых
величин в виде отрезков, параллельных осям координат. Эти отрезки
называют разносками. Каждую разноску проставляют так, чтобы соответствующая экспериментальная точка находилась в ее середине.
Длина разноски равна удвоенной ошибке.

8. При графическом анализе линейной зависимости "наилучшую" прямую следует проводить только после соответствующих расчетов.

Если в пределах разносок на графике невозможно провести пря­мую, то проводят "наилучшую" кривую, также преходящую через до­верительные интервалы. Обычно физические зависимости соответствуют плавно изменяющимся функциям, поэтому не следует соединять точки ломаной линией.

9. При экстраполяции кривых, т.е. продолжении их в неисследованную область, нужно проводить эти продолжения пунктирной линией.

10. Каждый график сопровождается подписью, поясняющей, что и от чего зависит.

11. Если на графике изображается несколько кривых, то экспе­риментальные точки разных кривых обозначаются различно, как сказано выше, точками, крестиками, треугольниками и т.д. Кривые нумеруются, а в подписи к графику даются соответствующие пояснения.

Пример грамотно выполненного графика см. на рис. 1.1.

1.4. ЗАЩИТА РАБОТЫ

Перед защитой необходимо тщательно проработать соответствую­щий лекционный материал и учебники по ссылкам на литературу в конце описания лабораторной работы. Следует еще раз внимательно просмотреть все расчеты и построения, чтобы "назубок" знать, что есть что в отчете по работе.

Следует помнить, что ОТЧЕТЫ ПО РАБОТАМ БЕЗ ПОДПИСИ ПРЕПОДА­ВАТЕЛЯ НА РЕЗУЛЬТАТАХ ИЗМЕРЕНИЙ НЕ ПРИНИМАЮТСЯ. В этом случае студент должен выполнить вновь эксперимент по данной работе.

Защита начинается с просмотра преподавателем расчетов и гра­фиков. По требованию преподавателя студент поясняет те или иные части отчета. Кроме того, защита сопровождается вопросами типа:

· какой физический смысл имеет исследуемая величина;

· в каких единицах она измеряется;

· как она зависит от других физических величин;

· какое физико-химическое явление она характеризует;

· в чем суть этого явления.

В случае положительных ответов на вопросы, преподаватель расписывается в конце отчета и лабораторная работа считается завершенной.

Студент, выполнивший и защитивший ВСЕ запланированные лабораторные работы, получает зачет. Единственным основанием для выставления зачета в ведомость и зачетную книжку является лабораторная тетрадь со всеми зачтенными работами, предъявляемая пре­подавателю в конце семестра. Поэтому тетрадь нужно беречь и без особой необходимости никому не передавать.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА

РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Физическая химия принадлежит к разряду точных наук, т. к. одной из основных ее задач является определение взаимосвязи меж­ду различными физическими величинами. Причем основная масса численных значений величин измеряется экспериментально. Но все измерения всегда выполняются с той или иной погрешностью. Таким образом, возникает некоторое противоречие: в точной науке используют­ся неточные значения величин. Поэтому в экспериментальных науках огромное внимание уделяется определению степени точности измере­ний, т. е. оценке их погрешностей.

2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ИЗМЕРЕНИЕМ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ НАЗЫВАЕТСЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ СРАВНЕНИЕ ДАННОЙ ВЕЛИЧИНЫ С ДРУГОЙ, ОДНОРОДНОЙ С НЕЙ ВЕЛИЧИНОЙ, ПРИНЯТОЙ ЗА ЕДИНИЦУ ИЗМЕРЕНИЙ.

Измерения могут быть прямыми и косвенными.

ПРЯМЫМИ НАЗЫВАЮТСЯ ТАКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ, ПРИ КОТОРЫХ ЧИСЛЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ ИЗМЕРЯЕТСЯ НЕПОСРЕДСТВЕННО С ПОМОЩЬЮ ПРИБОРА.

ИЗМЕРЕНИЯ НАЗЫВАЮТ КОСВЕННЫМИ, ЕСЛИ ИСКОМОЕ ЗНАЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ПУТЕМ РАСЧЕТА ИЗ ФОРМУЛ ПО ЗНАЧЕНИЯМ ДРУГИХ ВЕЛИЧИН, НАЙДЕННЫХ ПРИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ.

Согласно теории погрешностей, весь комплекс ошибок, которые можно допустить как при прямых, так и косвенных измерениях, де­лится на систематические, случайные и промахи.

СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ НАЗЫВАЮТ ТАКУЮ ПОГРЕШНОСТЬ, КОТОРАЯ ПРИ МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ ОСТАЕТСЯ ПОСТОЯННОЙ ПО ВЕЛИЧИНЕ И ЗНАКУ. Основными источниками систематических погрешностей измерений яв­ляются неточные или неверно отрегулированные приборы, а также непродуманная методика измерений. От систематических погрешностей можно избавиться, используя исправные, поверенные приборы и пра­вильно планируя проведение экспериментов. К систематическим по­грешностям примыкает ИНСТРУМЕНТАЛЬНАЯ или ПРИБОРНАЯ ПОГРЕШОСТЬ, которая определяется величиной цены деления измерительного инструмента или чувствительностью прибора.

ПРОМАХОМ (грубой ошибкой) НАЗЫВАЮТ ТАКУЮ ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕ­НИЯ, КОТОРАЯ ОКАЗЫВАЕТСЯ ЗНАЧИТЕЛЬНО БОЛЬШЕ ОЖИДАЕМОЙ В ДАННЫХ УСЛОВИЯХ.

Основной причиной промахов является невнимательность экспериментатора, неправильно сделавшего отсчет величины по шкале прибо­ра или неверно записавшего результат измерения. Промах резко от­личается от результатов остальных измерений и не учитывается при дальнейшей обработке опытных данных.

Если из результатов измерений исключить систематическую по­грешность и промахи, то все же (при использовании достаточно точ­ных приборов) результаты многократных измерений будут отличаться друг от друга. Это обусловлено тем, что на каждое измерение влияют внешние условия, которые могут случайным образом изменять­ся от опыта к опыту. Такая ПОГРЕШНОСТЬ, ОБУСЛОВЛЕННАЯ ОДНОВРЕМЕН­НЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ НА ПРОЦЕСС ИЗМЕРЕНИЯ БОЛЬШОГО КОЛИЧЕСТВА НЕУЧ­ТЕННЫХ ВНЕШНИХ ФАКТОРОВ, НАЗЫВАЕТСЯ СЛУЧАЙНОЙ.

Основными величинами, характеризующими точность измерения, являются АБСОЛЮТНАЯ и ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ.

АБСОЛЮТНОЙ ПОГРЕШНОСТЬЮ Δ х НАЗЫВАЕТСЯ МОДУЛЬ РАЗНОСТИ МЕЖДУ ИСТИННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ВЕЛИЧИНЫ х_ист И ИЗМЕРЕННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ЭТОЙ ВЕ­ЛИЧИНЫ х:

Δ х = | х_ист – х |. (2.1)

ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШЮСТЬЮ ε _х НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ АБСОЛЮТ­НОЙ ПОГРЕШНОСТИ Δ х К ИСТИННОМУ ЗНАЧЕНИЮ ВЕЛИЧИНЫ х:

. (2.2)

После исключения систематической ошибки и промахов суммарная погрешность любых измерений будет складываться из инструмен­тальной и случайной погрешностей. В частности, для абсолютной погрешности:

. (2.3)

При использовании неточных измерительных инструментов и приборов с низкой чувствительностью обычно получают практически совпадаю­щие результаты. Тогда будет пренебрежимо мала по сравне­нию . Поэтому:

. (2.4)

При измерениях с помощью чувствительных приборов и точных инстру­ментов инструментальная ошибка значительно уменьшится и заметно проявится случайная ошибка:

. (2.5)

Упрощения (2.4) и (2.5) допускаются в лабораторном практикуме, если отбрасываемая погрешность составляет менее четверти от большей. При сравнимости и следует учитывать их обе по (2.3).

Перейдем к способам определения инструментальной и случайной погрешностей измерений.

2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Обнаружение промахов

Некоторые значения измеренных величин в серии измерений резко отличаются от остальных. Если их отбросить, считая промахами, то и изменятся, вследствие чего могут появиться новые выпадающие значения. Поэтому отбрасывать кажущиеся неверными значения следует лишь тогда, когда вероятность случайного проявления такого нового промаха достаточно мала. В лабораторном практикуме приближенно можно считать промахами те измерения, при которых их абсолютная погрешность вдвое превышает среднюю абсолютную погрешность, т.е.

Прямых измерений

Обобщая изложенное выше, можно предложить следующую схему расчетов результатов нескольких прямых измерений.

1. Вычислить по (2.8) среднее арифметическое измеряемой величины.

2. Рассчитать по (2.9) абсолютные погрешности резу­льтатов отдельных измерений.

3. Определить по (2.10) среднее арифметическое абсолю­тных погрешностей.

4. Отбросить из серии измерений те значения измеренных величин, абсолютная погрешность которых вдвое превышает среднюю абсолютную погрешность

5. Повторить п. 1…3 для оставшихся после исключения промахов значений измеренных величин.

6. Определить инструментальную погрешность измерений по (2.7) как половину цены деления измерительного инструмента.

7. Если вычисленные и сравнимы, то для оп­ределения суммарной абсолютной погрешности измерений следует их сложить по (2.3). Если указанные выше погрешности отличаются более чем в четыре раза, то меньшей следует пренебречь по (2.4) или (2.6).

8. Записать окончательный результат:

. (2.17)

Довольно часто в лабораторном практикуме проводятся однократ­ные измерения величин. Очевидно, что в этом случае нет возможнос­ти рассчитать случайную погрешность измерений . Следовате­льно, суммарная абсолютная погрешность измерений будет равна инструментальной погрешности . Таким образом: СУММАРНАЯ АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ОДНОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ РАВНА ПОЛОВИНЕ ЦЕНЫ ДЕЛЕНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ИНСТРУМЕНТА.

Для лучшего усвоения материала рассмотрим конкретный пример расчета абсолютной погрешности прямых измерений.

ПРИМЕР 1

С помощью "плотницкого" метра с сантиметровыми делениями бы­ла измерена длина l и ширина b комнаты. При трехкратных измере­ниях получены следующие результаты:

l ₁=10,00 м; l ₂=10,02 м; l ₃=9,99 м; || b ₁=5,01 м; b ₂=5,00 м; b ₃=4,98 м.

1. Средние значения измеряемых величин:

м; || м.

2. Абсолютные случайные погрешности каждого из измерений:

м; || м;

м; || м;

м; || м.

3. Средние абсолютные случайные погрешности:

м; м.

4. Удвоенные абсолютные погрешности длины и ширины составляют 0,024м. Ни одна из погрешностей измерений в п.2 не превышает этого значения. Следовательно, в данных сериях измерений длины и ширины промахи отсутствуют.

5. Инструментальная погрешность измерений "плотницким" метром составляет половину цены деления, т.е.:

м; || м.

6. Случайная и инструментальная погрешности сравнимы, поэтому суммарная абсолютная погрешность равна их сумме:

м; || м.

7. Окончательный результат измерений:

м; || м.

Видно, что в данном примере абсолютные погрешности измерений длины и ширины одинаковы. Возникает вопрос: что же измерено точнее, длина или ширина? Для ответа на этот вопрос воспользуемся понятием относительной погрешности. Рассчитаем ее по (2.2):

||

Выразим относительную погрешность в процентах:

||

Отсюда видно, что измерение длины проведено более точно, т.к. абсолютная погрешность длины от самой длины составляет только 0,2%, в то время как абсолютная погрешность ширины по отношению к самой ширине вдвое больше.

На этом примере проявляется смысл понятия относительной погре­шности: ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПОКАЗЫВАЕТ, КАКУЮ ДОЛЮ ОТ САМОЙ ВЕЛИЧИНЫ СОСТАВЛЯЕТ ЕЕ АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ.

Относительная погрешность является безразмерной величиной. Поэтому с ее помощью можно сравнивать точность не только однород­ных измерений, как в данном примере (длина и ширина имеют одну единицу измерений - метр), но и неоднородных. Это широко используется при определении погрешностей косвенных измерений.

2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ

КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

В большинстве случаев при проведении экспериментов не удает­ся непосредственно измерить интересующую нас величину. Чаще все­го измеряют другие величины, а затем вычисляют искомую величину, которая является функцией измеренных. Например, необходимо опре­делить площадь комнаты. Комната имеет правильную геометрическую форму, поэтому проще всего получить площадь как произведение дли­ны на ширину.

Однако и длина, и ширина комнаты измерены с определенной по­грешностью (см. Пример 1). Очевидно, что не может быть рассчитана и точная площадь. Причем величина погрешности площади зависит от точности измерения длины и ширины. Поэтому для определения по­грешности расчетной величины необходимо установить взаимосвязь этой погрешности с погрешностями измеренных величин. В данном случае следует вывести формулу, связывающую погрешность площади с погрешностями длины и ширины.

ФОРМУЛЫ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЯЕМЫХ ВЕЛИЧИН С ПО­ГРЕШНОСТЯМИ ИЗМЕРЯЕМЫХ ВЕЛИЧИН, НАЗЫВАЮТСЯ ФОРМУЛАМИ ПОГРЕШ­НОСТЕЙ.

Формулы погрешностей выводятся исходя из РАБОЧИХ ФОРМУЛ, т. е. формул, связывающих вычисляемые величины с измеряемымИ.

Один из способов вывода формул погрешностей основан на следующих сообра­жениях. Относительная погрешность величины z по (2.2):

. (2.18)

С другой стороны:

. (2.19)

Перейдя к небольшим конечным приращениям, (2.19) можно переписать:

. (2.20)

Сравнивая (2.18) и (2.20), получаем:

. (2.21)

Таким образом, формулу погрешностей можно вывести, взяв диф­ференциал натурального логарифма рабочей формулы. Поэтому для вы­вода формулы погрешностей рабочую формулу логарифмируют и полу­ченное выражение дифференцируют. Чтобы погрешность была макси­мальной, все знаки "минус" меняют на знаки "плюс", вместо значков диффе­ренциала " d " ставят значки абсолютных погрешностей "Δ", над все­ми символами измеряемых величин ставят значок "–", означающий, что берутся средние значения этих величин.

ПРИМЕР 2

Рабочая формула:

,

,

.

Формула погрешностей:

.

ПРИМЕР 3