Определение случайной погрешности

Пусть достаточно точным прибором (настолько, чтобы пренебречь инструментальной погрешностью) проведено n измерений величины х. В результате получено n отличающихся друг от друга значений величины: . Можно показать, что хорошим приближением к истинному значению величины является среднее арифметическое значение от всех измеренных значений :

. (2.8)

Согласно (2.1) находим абсолютные случайные погрешности каждого измерения:

(2.9)

................

.

Среднее значение абсолютной случайной погрешности измерений:

. (2.10)

Равновероятно, что абсолютную случайную ошибку можно допустить как в сторону больших величин по сравнению со средней величиной, так и в сторону меньших. Поэтому результат записывают:

. (2.11)

Эта запись обозначает, что истинное значение величины находится в интервале:

. (2.12)

Однако такой способ оценки случайной погрешности является приближенным. Теория вероятностей показывает, что основной причи­ной этого является то, что в общем случае не совсем корректно среднее арифме­тическое отождествлять с истинным значением величины. А поскольку истинное значение неизвестно, то нельзя с полной уве­ренностью полагать, что оно находится в интервале по (2.12). Очевидно, чем шире выбранный интервал, тем больше вероятность попа­дания в него истинного значения величины. В математической ста­тистике этот интервал называется доверительным интервалом, а ве­роятность того, что истинное значение величины находится внутри этого интервала, называется доверительной вероятностью.

Доверительный интервал при соответствующей ему доверительной вероятности может быть определен методом Стыодента.

Для этого сначала определяют дисперсию измерений. Дисперсия D характеризует степень разбросанности результатов измерений отно­сительно истинного значения. Она связана со среднеквадратичным отклонением среднего арифметического S (x) от истинного значения:

. (2.13)

Величина, равная доверительному интервалу для , выраженному в долях дисперсии, называется коэффициентом Стьюдента:

. (2.14)

Стьюдентом выведено уравнение, связывающее производную дове­рительной вероятности Р по t с величиной t:

. (2.10)

Графики этих функций приведены на рис. 2.1. Они показывают, что кри­вые имеют симметричную форму относительно вертикальной оси, проходящей через t = 0, причем крутизна кривых зависит от числа из­мерений n. Заштрихованная площадь под кривыми дает величину до­верительной вероятности P_t, соответствующей отклонению ± t:

.

Из рис. 2.1 видно, что чем больше количество измерений, тем больше доверительная вероятность при одинаковом отклонении ± t. При постоянной доверительной вероятности с увеличением числа из­мерений уменьшается отклонение t (рис. 2.1б). Поэтому для уменьше­ния t, а следовательно и доверительного интервала, следует вы­полнять

возможно большее количество измерений.

Значения коэффициентов Стьюдента t для соответствующих до­верительных вероятностей Р при различных количествах измерений n сведены в табл. 2.1.

Следует отметить, что в лабораторном практикуме обычно расче­ты проводят для доверительной вероятности P = 0,95.

Найдя коэффициент Стьюдента t пo таблице, величину доверительного интервала вычисляют из (2.14):

. (2.16)

Следует отметить, что метод Стьюдента эффективен при большом числе измерений. При типичном для лабораторного практикума

Таблица 2.1

Значения коэффициента Стьюдента t.

Число измерений n	Значение t при доверительной вероятности:
Р = 0,95	Р = 0,98	Р = 0,99	Р = 0,999
	12,7 4,3 3,2 2,8 2,6 2,4 2,4 2,3 2,3 2,1 2,1 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0	31,8 7,0 4,5 3,7 3,4 3,1 3,0 2,9 2,8 2,6 2,5 2,5 2,5 2,4 2,4 2,4	63,7 9,9 5,8 4,6 4,0 3,7 3,5 3,4 3,3 3,0 2,9 2,8 2,8 2,7 2,7 2,6	636,6 31,6 12,9 8,6 6,9 6,0 5,4 5,0 4,8 4,1 3,9 3,7 3,7 3,6 3,6 3,4

числе измерений n < 5 можно ограничиваться расчетом абсолютной погреш­ности измерений по (2.8)... (2.11).

Обнаружение промахов

Некоторые значения измеренных величин в серии измерений резко отличаются от остальных. Если их отбросить, считая промахами, то и изменятся, вследствие чего могут появиться новые выпадающие значения. Поэтому отбрасывать кажущиеся неверными значения следует лишь тогда, когда вероятность случайного проявления такого нового промаха достаточно мала. В лабораторном практикуме приближенно можно считать промахами те измерения, при которых их абсолютная погрешность вдвое превышает среднюю абсолютную погрешность, т.е.