Классификация задач оптимального управления.

В основу любой классификации выбирается какая – либо существующая характеристика (составляющая) классифицируемой задачи. При решении задачи оптимального управления (ЗОУ) очень важная роль отводится форме критерия оптимизации, который, как правило, задается в виде функционала. Классификация ЗОУ по этому признаку повторяет классификацию экстремальных задач, рассмотренных в вариационном исчислении. Экстремальные задачи иногда называют задачами оптимизации. Задача оптимизации становится задачей оптимального управления, когда среди независимых переменных оптимизируемого функционала появляется управляющее воздействие вектор . В классическом вариационном исчислении рассматривались задачи, где переменная отсутствовала, но, как правило, интегрант содержал первую производную фазовых координат или даже производные более высоких порядков. Очевидно, математическая сущность задачи оптимизации при этом не изменяется, так как переменная может быть введена (или выведена) в функционал путем добавления условия . Далее рассмотрены варианты классификации ЗОУ в зависимости от формы задания функционала (4), ограничений вдоль траектории (2) и краевых условий (3). Основное назначение этой классификации, которая является весьма условной – познакомить читателя с терминологией, которая используется в литературе по данному вопросу [1].

 

По форме критерия оптимизации.

1) Интегральный функционал. Задача Лагранжа. Интегральным функционалом называется функционал вида

(5)

где - является дифференцируемой функцией своих переменных и называется интегрантом. В случае отсутствия ограничений (2) задача о минимуме при условиях (1) и (3) традиционно называется задачей Лагранжа. Она является классической задачей вариационного исчисления.

2) Задача Майера. В этом случае минимизируемый функционал является функцией граничных состояний объекта управления:

 

(6)

 

Функция называется терминантом. Например, для системы (1п) можно поставить следующую задачу Майера: определить управление , при котором за заданное время ракета достигает максимальной дальности , при условии, что . Формально задача Майера является более общей, чем задача Лагранжа: любая задача Лагранжа может рассматриваться как частный случай задачи Майера.

3) Задача Больца. Функционал смешанного типа. Определить векторы и , доставляющие минимум функционалу

(7)

Путем введения новой переменной эта задача может быть сведена к задаче Майера.

 

II Способы задания краевых условий.

В общем случае граничные условия (3) можно представить в виде гиперповерхности в пространстве , задаваемые уравнениями

 

, , (8)

, , (9)

 

Однако в конкретных задачах имеются следующие варианты краевых условий.

1) Задача с фиксированными концами. Этот термин используется в задачах, в которых и заданы. Различают также задачи с фиксированным временем ( - заданы) и нефиксированным (либо , либо не задано).

2) Задача со свободным концом. Если (или ) не задано, то рассматривается задача со свободным левым (правым) концом. Здесь также различают задачи с фиксированным и нефиксированным временем.

3) Задача с подвижными концами. Если - фиксированы, а векторы и лежат на гиперповерхностях, определяемых уравнениями (8) и (9), то говорят о задаче с подвижными концами и фиксированным временем. Если либо , либо в (8), (9) не задано, то мы получаем задачу с «перемещающимся многообразием» на соответствующем конце.

 

III способы задания ограничений.

 

1) В общем случае ограничение на управление и фазовые координаты имеют вид (2). Однако при решении ЗОУ в технике наиболее часто встречаются ограничения в форме

 

,

, (10)

 

Классические методы решения ЗОУ, основанные на вариационном исчислении, оказываются неприменимы при наличии ограничений в форме (10). Дл подобных задач в конце 50-х годов был разработан принцип максимума Понтрягина Л.С.

2) Совместные ограничения на управление и фазовые переменные в виде равенств и неравенств:

 

, ,

, ,

 

3) Интегральные ограничения (изопериметрическая задача). Решение ЗОУ определяется при соблюдении ограничения в виде:

,

где - некоторые скалярные функции, а - заданные числа.

Название этому классу задач дала следующая «историческая» задача, изучавшаяся еще в конце XVIII века: определить форму кривой заданной длины, которая ограничивает максимальную площадь. Приведенная классификация не является всеобъемлющей и не охватывает весь класс задач оптимального управления. Однако она позволяет в дальнейшем использовать терминологию принятую при постановке и решении ЗОУ.