Задача с закрепленными концами и фиксированным временем.

В начале рассмотрим условия принципа максимума для задачи с закрепленными концами. Описание объекта имеет вид:

 

 

(2.1)

 

Вектор управления принимает значения из некоторой замкнутой области и принадлежит классу кусочно-непрерывных функций . Составляющие вектора являются непрерывными и всюду, кроме точек разрыва допустимого управления, имеют непрерывные производные . Функции непрерывны по всем аргументам и имеют непрерывные частные производные по переменным состояния . Из всех допустимых управлений , переводящих объект из начального состояния в конечное , требуется найти такое управление, которое минимизирует функционал:

 

(2.2)

 

Где непрерывная и дифференцируемая функция. Применяем к задаче (2.1-2.2) прием Лагранжа[2], составляем Лагранжиан

 

(2.3)

 

Согласно исходным данным задачи выражение (2.3) для не содержит ограничения на управляющие воздействия, и в соответствии с приемом Лагранжа задача (2.1-2.2) сводится к задаче на безусловный экстремум функционала:

 

(2.4)

 

Результат решения задачи (2.4) предполагает определение оптимальных функций . Возможность определения этих функций можно представить в форме решения двух задач, в каждой из которых определяется экстремаль по одной переменной при условии, что по другой переменной задача оптимизации решена [2]. Эти задачи имеют вид:

 

(2.5)

 

(2.6)

 

При решении (2.5) и (2.6) предполагается рассматривать класс допустимых функций в форме . Задача (2.5) является задачей вариационного исчисления с закрепленными концами на экстремум функционала. Для нее необходимое условие экстремума – уравнение Эйлера:

 

(2.7)

 

(2.8)

 

Условие (2.7) называется сопряженной системой, решение которой позволяет определить вектор множителей Лагранжа.

Очевидно решение второй задачи (2.6). Оптимальное управление , должно удовлетворять условию . В методе принципа максимума вводится скалярная функция гамильтониан

 

(2.9)

 

Введение гамильтониана в (2.6) позволяет сформировать эту задачу на максимум функционала при :

 

(2.10)

 

Условием максимизации является максимизация подынтегрального выражения. Функция доставляет максимум функционалу , если всюду , кроме точек разрыва выполняется соотношение:

 

(2.11)

 

Следовательно доставляет максимум гамильтониану. Необходимое условие (2.7) и соотношение (2.11) образуют необходимое условие оптимальности исходной задачи (2.1), (2.2) и называется принципом максимума или принципом максимума Понтрягина.

Теорема(принцип максимума)

Пусть - такое допустимое управление, что соответствующая ему траектория , исходящая при из точки , проходит в момент через точку . Для оптимальности управления и траектории необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор - функции , соответствующей функциям и и , что для любого момента времени , когда является непрерывной, функция достигает по максимума.

 

 

Согласно теореме в формулировке принципа максимума имеются неизвестных функций . Совокупность уравнений (2.7), (2.8) и условий (2.11) представляют столько же соотношений для определения этих неизвестных. Постоянные интегрирования определяются на основании граничных условий.

Если точка является внутренней точкой области , то для выполнения условия максимума необходимо обращение в нуль частных производных:

 

. (2.12)

 

Если же некоторые составляющие вектор – функции принимают граничные значения на , то соотношение (2.12) для них не будет выполняться. Однако взамен появятся условия принадлежности этой грани. (Например, на границе ). Управление является функцией времени. В условиях практики приреализации управления, определенного по (2.12), возможна ситуация, когда по значению некоторых составляющих -подходит к своим граничным значениям в какой-то момент времени , тогда при -управления принимают свои граничные значения. При условии оптимальное значение при . Соотношения, полученные из (2.12), являются конечными и не содержат производных от неизвестных функций. Так как является линейной и однородной функцией переменных и соотношения (2.7),(2.11) не изменяются при умножении всех переменных на одну и ту же постоянную величину, значение , которая согласно теореме является постоянной величиной, можно задаться произвольно. Обычно принимают .

На основании введенной функции гамильтониана необходимое условие (2.7), (2.8) также можно представить в форме канонических уравнений:

 

, (2.13)