Нарахування простих і складних процентів

 

Але незалежно від способу нарахування відсотків відсоткові ставки можуть бути простими і складними.

Простий відсоток – це нарахування відсотку лише на початково інвестовану суму (постійна база нарахування %).

Прості відсотки використовуються в короткострокових фінансових операціях, термін проведення яких менше року або дорівнює йому або коли після кожного інтервалу нарахування кредитору виплачуються відсотки. Природно, що нарахування простих відсотків може застосовуватись і в будь-яких інших випадках за домовленістю сторін, що беруть участь в операції.

Нарощення за річною ставкою простих процентів здійснюється за формулою:

 

FV = PV(1 + r×n), (2.3)

де FV – майбутня вартість;

PV – первісна (теперішня) вартість;

n – кількість періодів (років);

r – відсоткова ставка.

При проведенні фінансових обчислень в більшості випадків користуються не простими, а складними відсотками. У цьому випадку відсотковий дохід не вилучається, а залишається на рахунку і додається до величина початкового внеску.

Складний відсоток - за базу нарахування відсотків є як початкова сума фінансової операції, так і сума вже накопичених до цього часу відсотків (змінювана база нарахування відсотків).

Нарощення за складними відсотками передбачає реінвестування отриманих доходів. У цьому випадку кажуть, що відбувається капіталізація відсотків в міру їх нарахування.

Складні відсотки застосовуються, як правило, у фінансових операціях, термін проведення яких більше року. Нарощення за складними процентами має вигляд:

 

FV= PV(1 + r)ⁿ, (2.4)

 

Формула складних відсотків є однією з базових формул у фінансових розрахунках, тому для зручності користування значення множника для розрахунку майбутньої вартості, який носить назву мультиплікованого множника і який забезпечує нарощення вартості, табульоване для різних значень r і n. Шукати у підручниках спеціальні таблиці. На перетині рядка n і стовпця r показано, на що перетвориться 1 грошова одиниця. через n років, покладений на депозит під r % річних. Залишається помножити тільки на суму вкладу і визначити майбутню вартість вкладу.

Приклад. Прості відсотки. Припустимо, що ви маєте 100 гривень.

Вклали їх під 10% річних.

Через рік матимете 100 + 100*0,1 = 110 гривень.

Припустимо, маєте можливість знов вкласти під 10% річних.

Матимете в кінці 2-го року 110 + 100*0,1 = 120 гривень

В кінці 3-го року – 120+ 100*0,1 = 130 гривень

В кінці 4-го – 140 гривень і так далі.

Цю ж суму можна отримати за формулою складних процентів:

FV = PV(1 + r*n),

За цією формулою в кінці 4-го року в нашому прикладі матимемо

FV = 100* (1+10%*4) = 140 гривень

Приклад. Складні відсотки. Припустимо, що ви маєте ті ж 100 гривень.

Вклали їх під 10% річних.

Через рік матимете 100 + 100*0,1 = 110 гривень.

Припустимо, маєте можливість знов вкласти під 10% річних.

Матимете в кінці 2-го року 110 + 110*0,1 = 12 1 гривень

В кінці 3-го року – 121+ 121*0,1 = 13 3,1 гривень

В кінці 4-го – 133,1 + 133,1 *0,1 = 146.41 гривень і так далі.

Цю ж суму можна отримати за формулою складних процентів:

FV= PV(1 + r)ⁿ,

За цією формулою в кінці 4-го року в нашому прикладі матимемо

FV = 100* (1+0,1)⁴ = 140 гривень

(Практичні заняття) Приклад 1 (прості відсотки)

Клієнт зробив внесок в банк в сумі 10 000 грн. під 12% річних терміном на п’ять років. За формулою (1) знаходимо:

FV = 10 000(1 + 0,12*5) = 16 000 грн.

Сума нарахованих процентів складе 6 000 грн. (16 000 – 10 000).

 

Розглянемо, як зміниться сума вкладу в розглянутому вище прикладі, якщо при нарахуванні використовувати метод складних відсотків. При розміщенні на банківському депозиті суми в розмірі 10 000 грн. під 12% річних терміном на п’ять років. Кінцева сума при обчисленні методом складних відсотків складе

FV = 10 000 (1 + 0,12)⁵ = 17 623 грн..

Отримана сума на 1 623 грн. більше, ніж сума, отримана при нарахуванні простих відсотків.

Метод складних відсотків завжди інтригував людей. Джон Кейнс назвав цей процес магією складних відсотків. Дійсно, на тривалих відрізках часу первісні суми, вкладені під складний відсоток, збільшуються дуже істотно. Це добре очевидно з табл. 2.1, в якій наведено дані по приросту інвестицій у розмірі 100 дол. При простому і складному відсотку на 200-річному відрізку часу.

Таблиця показує, що в перший рік різниця в доході між простим і складним відсотком дорівнює нулю. Потім ця різниця починає незначно зростати. Вона вельми велика для 50-річного та величезна для 200-літнього періоду.

 

Таблиця 2.1

Рік	Простий відсоток	Складний відсоток
		11 739
	1 100	1 378 061
	2 100	18 990 527 622

 

При простому відсотку збільшення вартості йде рівномірно. Початкова сума інвестицій щороку збільшується на однакову величину, що ілюструє пряма лінія. При складному відсотку спостерігається прискорене зростання накопичень. Крива зростання тим крутіше, чим вище ставка відсотка і довше термін інвестування.

Динаміка зміни початкового вкладу при простому і складному нарахуванні відсотків представлена на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Зростання вартості при простому і складному відсотку