Лекція 5. Використання методу гаусса

ДЛЯ РІШЕННЯ ЗАДАЧ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ.

НАБЛИЖЕНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ.

План лекції

1. Метод Гауса для рішення систем лінійних рівнянь.

Наближені методи рішення системи лінійних рівнянь.

Норма вектора. Норма матриці.

Приведення системи до виду зручному для ітерацій.

2.3. Метод Зейделя

2.4. Метод ітерацій

Метод Гауса для рішення систем лінійних рівнянь.

Нехай дана система лінійних рівнянь:

 

Матрична форма запису системи: ,

 

де ; .

Метод Гауса для рішення систем лінійних рівнянь реалізується в два етапи: прямий хід і зворотний. Прямим ходом називається процес приведення системи (5.1) до трикутного виду.

Розглянемо прямий хід. Розділимо перше рівняння на елемент , за умови, що він відмінний від нуля. З інших рівнянь виключаємо невідоме , при цьому коефіцієнти системи перераховуються за формулами:

Після перерахування система має вид:

За умови, що , ділимо друге рівняння системи на елемент і виключаємо невідоме з рівнянь нижче другого.

На k -тому кроці поділяємо k -те рівняння на і робимо виключення в інших рівняннях. Формули перерахування коефіцієнтів і вільних членів рівнянь мають вид:

 

і так далі.

У результаті прямого ходу методу Гауса система приводиться до трикутного виду:

Зворотний хід методу Гауса дозволяє знайти рішення системи рівнянь.

 

У загальному випадку: .

Зауваження. Необхідно перевірити на рівність нулю діагональний елемент; якщо , то необхідно переглянути всі елементи в стовпці матриці А, розташованої нижче - га рядка. Якщо буде знайдений ненульовий елемент, то поміняти місцями -й рядок і рядок, що містить ненульовий елемент ( вибирається від 1 до n- 1). На останньому кроці при цьому, якщо то система рівнянь (5.1) має безліч рішень; якщо то рішень немає.

 

Наближені методи рішення системи лінійних рівнянь.

Норма вектора. Норма матриці.

Виз. Нормою вектора називається відображення в просторі , яке кожному вектору ставить у відповідність число, що позначається і задовольняє наступним властивостям.

Властивості норми:

1. Норма вектора

2.

3.

 

У лінійному просторі - мірних векторів задамо норму двома способами:

1. 2.

 

У лінійному просторі квадратних - мірних матриць виду:

норму визначимо в такий спосіб:

, де - верхня грань.

 

Таким чином одержуємо, що норма матриці погоджена з нормою вектора. Будемо обчислювати норму матриці за формулами:

 

1. 2.

 

З визначення норми матриці випливає: