Джерела похибки. Наближені числа. Абсолютна і відносна похибки наближеного числа.

На практиці в більшості випадків знайти точне рішення математичної задачі неможливо, тому що воно не виражається в елементарних функціях. Тому для відшукання рішення використовуються чисельні методи.

Рішення, одержане чисельним методом, звичайно є наближеним, тобто містить деяку похибку. Джерелами похибки можуть бути:

1) невідповідність математичної моделі досліджуваному реальному процесу;

2) похибку вихідних даних;

3) похибку методу, що використовується;

4) похибку округлення.

Оцінити похибку математичної моделі можна шляхом порівняння результатів експерименту і типових приватних рішень при фіксованих значеннях вхідних параметрів. Вплив похибки вихідних даних оцінюється шляхом варіювання вхідних перемінних у припустимих межах і фіксування результатів. Похибку методу виявляється при використанні наближених методів, в основі яких використовуються нескінченні процеси, що приводять у межі до точного рішення. Тому що число операцій обмежується, те отримане рішення є наближеним. При використанні комп'ютерів похибку округлення незначна, але при ручних розрахунках з великою кількістю операцій вона істотно може вплинути на похибку рішення.

Виз. Нехай невідоме точне значення деякої величини, відоме наближене значення. Величина називається абсолютною похибкою наближеного числа .

Виз. Величина має назву відносної похибки .

Можна записати: .

Виз. Будь-яке число , що задовольняє умові , називається граничною абсолютною (відносною) похибкою.

Правило 1. При складанні і відрахуванні наближених чисел, їх граничні відносні похибки складаються.

Правило 2. При множенні і розподілі складаються граничні відносні похибки наближених чисел.

 

Наближені методи рішення нелінійних рівнянь.

Постановка задачі.

Нехай дано рівняння . Необхідно знайти наближені значення коренів цього рівняння. Будемо припускати, що всі корені ізольовані, тобто кожний з коренів має окіл, що не містить інших коренів. Пошук наближених значень коренів здійснюється в 2 етапи:

1. Відділення відрізків, що містять ізольований корінь.

2. Відшукання наближеного значення кореня з заданою точністю на кожному виділеному відрізку.

Для відділення відрізків з ізольованим коренем, сформулюємо теорему з математичного аналізу:

Th. Якщо функція , неперервна на , має на кінцях відрізка значення протилежних знаків, тобто , то на міститься принаймні один корінь рівняння (мал.2.1). Якщо, крім того, похідна на , зберігає постійний знак, то корінь єдиний (мал.2.2).

Мал. 2.1. Мал. 2.2.

Метод ітерацій.

Розглянемо рівняння (2.1).

Нехай – відрізок, що утримує єдиний корінь цього рівняння. Замінимо рівняння (2.1) рівносильним: (зручним для ітерацій) і нехай неперервна. Виберемо нульове наближення: і збудуємо послідовність наближень:

(2.2).

Якщо це послідовність, що сходиться, то її границя є коренем рівняння (2.1). Дійсно, якщо , то переходячи до границі в рівності (2.2) одержимо:

Оскільки функція неперервна, то:

отже - це корінь рівняння.

Th. Нехай функція неперервне диференціюємо на і всі її значення належать , тоді якщо на задовольняє умові Ліпшица с const a, тобто для будь-яких справедливо: , де , то:

1. Ітераційний процес збігається незалежно від нульового наближення.
2. Граничне значення послідовності ітерацій дорівнює єдиному значенню кореня на .

 

Похибку наближеного рішення, отриманого за методом ітерацій, визначається за формулою:

 

Покажемо на рисунках побудову послідовності наближених рішень за методом ітерацій.

 

Мал. 2.3. Наближення до кореня по "спіралі".

Мал. 2.4. Наближення до кореня по "сходам".

Як видно з рисунків наближення можуть сходитися до кореня з однієї сторони (Мал.2.4) чи з двох сторін (Мал.2.3).

Метод Ньютона (дотичних).

Хай відрізок, що містить ізольований корінь рівняння і функція , неперервна на разом з першою і другою похідними, причому обидві похідні зберігають постійний знак. Розглянемо окремий випадок.

Хай: ; ; ;

Мал. 2.5. Геометрична інтерпретація методу дотичних

В якості вибираємо точку відрізка [а, b], для якої виконана умова , тобто знак функції в точці співпадає із знаком другої похідної. (на прикладі ). В точці В () проведемо дотичну до кривої.

Як перше наближення виберемо абсцису точки перетину дотичної з віссю 0х. В точці В 1 () проводимо дотичну і в якості вибираємо абсцису точки перетину дотичної з віссю Ох і так дали. В точці В_n() проводимо дотичну:

Абсциса точки перетину цієї дотичної з віссю Ох дає наближення , тобто підставляючи в рівняння (2.3), отримаємо .

 

Th. Нехай безперервна разом з і на відрізку , що містить єдиний корінь рівняння і обидві похідні зберігають на постійний знак. Тоді, виходячи з нульового наближення, що задовольняє умові , можна знайти, використовуючи метод Ньютона, наближене рішення з будь-яким степенем точності.

Похибку наближеного рішення , отриманого по методу Ньютона, визначається формулою:

 

, де , .

 

Приклад 2.1.

Відділити корінь рівняння графічно і знайти наближене рішення рівняння методом дотичних з точністю e = 0.005.

Відділимо корінь. Побудуємо графіки функцій і . Абсциса точки їх перетину x- точне значення кореня.

Складемо таблицю значень:

Таблиця 2.1

x	-1
4-x

Мал. 2. 6. Геометричний метод відділення кореня.

Як видно з рисунка, корінь рівняння укладений в інтервалі [1;2]. Перевіримо це.

Таким чином інтервал [1;2] містить принаймні один корінь. Знайдемо похідні:

Обидві похідні зберігають в інтервалі [1;2] постійний знак, отже корінь єдиний.

Виберемо нульове наближення з умови . Оскільки , то в якості вибираємо правий кінець інтервалу . Знаходимо перше наближення:

Оцінимо похибку:

Оскільки монотонно зростаюча функція на інтервалу [1;2], тоді

.

Оскільки - так само монотонно зростає на інтервалу [1;2], тоді

Похибка першого наближення

Обчислимо друге наближення:

Оцінимо похибку другого наближення:

Оскільки похибка менше заданої точності, то - шукане наближене значення кореня рівняння .

 

Метод хорд.

Нехай – відрізок з єдиним коренем рівняння , і функція безперервна разом з і на , причому обидва похідні зберігають знак. Нехай:

 

; ; ; .

Проведемо хорду, що сполучає точки і . Як перше наближення виберемо абсцису точки перетину хорди з віссю Ох. Через точку і точку проведемо хорду.

Мал. 2.7. Геометрична інтерпретація методу хорд

(нерухома точка )

Знаходимо , як абсцису точки перетину хорди з віссю Ох. Будуємо точку хорду і так дали. Рівняння хорди, що проходить через точки і , має вигляд:

(2.4)

Абсциса точки перетину хорди з віссю Ох дає наближення кореня рівняння. Підставимо в (2.4) , отримаємо . Виразимо наближення :

 

 

В наведеному приклад нерухомим залишався правий кінець відрізка (точка ).

Розглянемо іншу ситуацію:

; ; ; .