Побудова квадратичної моделі.

Потрібно за результатами експериментів побудувати квадратичну модель . Розглянемо функцію:

Щоб знайти мінімальне значення цієї функції, обчислимо частки похідні й дорівняємо їх нулю. Одержимо систему рівнянь.

Розкриваючи дужки, одержимо

Для зручності обчислень, занесемо вихідні дані й розрахунки в таблицю.

i
…
N

Вирішуючи систему щодо коефіцієнтів , , , одержуємо шукане рівняння моделі .

Приклад 3.2.

Побудуємо квадратичну модель по заданим у Прикладу 3.1 даним експерименту

1) Знайдемо коефіцієнти квадратичної моделіметодом найменших квадратів. Треба по зазначеної формулі підібрати коефіцієнти моделі , , .

Побудуємо таблицю:

n
	-1.8	3.24	1.6	-2.88	-5.832	10.4976	5.184
	0.4	0.16		0.4	0.064	0,0256	0.16
	0.6	0.36	0.8	0.48	0.216	0.1296	0.288
			0.6	1.2			2.4
	2.9	8.41	0.5	1.45	24.389	70.728	4.205
	4.1	16.17	4.5	0.65	26.837	97.3809	12.237

Отримуємо систему

Вирішуючи систему, знайдемо коефіцієнти:

= 0.03076

= - 0.272928

= 1.02432

Зазначена залежність

2) Знайти відхилення експериментальних результатів від результатів, отриманих по моделі

 

вихідні дані	результат
-1.8	1.6	1.615425	0.00158
0.4		0.99607	0.002789
0.6	0.8	0.87562	0.003527
	0.6	0.602714	0.0001287
2.9	0.5	0.49458	0.0005741
			0.086008

визначаються по моделі шляхом підстановки табличних значень із першого стовпця замість х у рівняння моделі

 

= 0.03076(-1.8)²- 0.272928(-1.8)+1.02432 =1.615425 ………………………………………………….

= 0.03076 (0.4)²- 0.272928(0.4)+1.02432 =0.99607

Відхилення:

...........................................................................

3) Побудуємо графік, застосовує

х		x*x	x*x*x	x*x*x*x	x*y	x*x*y
-1,8	1,6	3,24	-5,832	10,4976	-2,88	5,184	1,6153	0,00023
0,4		0,16	0,064	0,0256	0,4	0,16	0,9201	0,00638
0,6	0,8	0,36	0,216	0,1296	0,48	0,288	0,8716	0,00513
	0,6				1,2	2,4	0,6015	2,26E-06
2,9	0,5	8,41	24,389	70,7281	1,45	4,205	0,4915	7,19E-05
4,1	4,5	16,17	26,837	97,3809	0,65	12,24		0,011827

 

Побудова експонентної моделі.

Потрібно за результатами експериментів побудувати експонентну модель . Логарифмуємо рівняння моделі.

або .

Позначимо: , , . Одержимо рівняння моделі у вигляді .Таким чином, побудова експонентної моделі зводиться до побудови лінійної моделі.

Розглянемо функцію:

Щоб знайти мінімальне значення цієї функції, обчислимо частки похідні й дорівняємо їхньому нулю. Одержимо систему рівнянь.

Для зручності обчислень, занесемо вихідні дані й розрахунки в таблицю.

i
…	...	...	...	...
N

Вирішуючи систему щодо коефіцієнтів , , одержуємо рівняння

моделі .Вертаючись до вихідних коефіцієнтів , , одержимо , .

Шукане рівняння моделі: .

Приклад 3.3.

Побудуємо експонентну модель по заданим у

Прикладу 3.1. даним експерименту

1) Знайдемо коефіцієнти експонентної залежності методом найменших

квадратів. Треба по зазначеної формулі підібрати

коефіцієнти моделі й . Побудуємо таблицю, попереднє обчислив

.

i
	-1.8	3.24	1.6	0.470004	-0.84007
	0.4	0.16
	0.6	0.36	0.8	-0.22314	-0.133886
			0.6	-0.51083	-1.021651
	2.9	8.41	0.5	-0.69315	-2.010127
	4.1	16.17	-	-0.95711	-4.011671

Отримуємо систему

Вирішуючи систему, знайдемо коефіцієнти и ,

Виразимо коефіцієнт з другого рівняння системи

=

Підставимо у перше рівняння. Розкриємо дужки й приведемо подібні члени. Отримуємо

16.17 + 4.1 (-0191422 - 0.82) = - 4.01167,

Знайдемо коефіцієнти:

,

=

Вертаючись до вихідних коефіцієнтів, одержимо

а = = , =1.163788

Зазначена залежність

2) Знайти відхилення експериментальних результатів від результатів, отриманих по моделі

 

вихідні дані	результат
-1.8	1.6	1.83156	0.053622
0.4		1.05222	0.002727
0.6	0.8	1.00052	0.040207
	0.6	0.70314	0.010638
2.9	0.5	0.56049	0.003659
			0.11853

визначаються по моделі шляхом підстановки табличних значень із першого стовпця замість х у рівняння моделі

= 1.163788. е^{- 0.251939.(-1.8)} =1.83156

………………………………………………….

= 1.163788. е^{- 0.251939. 2.9} =0.56049

Відхилення:

...........................................................................

4) Побудуємо графік, застосовує

х		x*x		x*y
-1,8	1,6	3,24	0,470003629	-0,846007	1,597762	5,00696E-06
0,4		0,16			0,917983	0,006726707
0,6	0,8	0,36	-0,223143551	-0,133886	0,872881	0,005311663
	0,6		-0,510825624	-1,021651	0,613475	0,000181574
2,9	0,5	8,41	-0,693147181	-2,010127	0,489033	0,000120281
4,1	4,5	16,17	-0,957112726	-4,011671		0,012345232

 

Питання для самоперевірки

1) Яки методи побудови математичних моделей?

2) Як побудувати лінійну модель?

3) Як знаходять рівняння моделі, застосовує ?

4) Як знаходяться коефіцієнти квадратичної моделі?

5) Яки етапи побудови експонентної моделі?

6) Яким чином визначаються коефіцієнти експонентної моделі?

4.ЛЕКЦІЯ 4. СИСТЕМА

План лекції

1. Призначення . Стандартний інтерфейс.

2. Панель інструментів Математика ().

3. Текстовий редактор.

4. Формульний редактор.

5. Змінні.

6. Користувальницькі й стандартне функції.

7. Побудова графіків.

8. Робота з векторами й матрицями.

9. Панель Programming.

10. Панель .

 

4.1 Призначення . Стандартний інтерфейс.

є математично орієнтованою мовою візуального програмування. Він призначений:

1) для підготовки науково-дослідних документів, що містять текст, формули, графіки;

2) для рішення інженерних задач, у тому числі рішення нелінійних рівнянь, систем рівнянь, диференціальних рівнянь, рівнянь у частинних похідних, обчислення інтегралів, границь, рішення задач лінійного програмування, фінансових і статистичних задач.

Стандартний інтерфейс містить у собі рядок меню й три панелі інструментів: стандартну, форматування й математики. При запуску автоматично завантажується чистий робочий аркуш. Курсор являє собою маленький червоний хрестик. Він визначає початок області уведення.

Розрізняють два види об'єктів: формульний блок (формули, графіки); текстовий блок (коментарі).У ході розрахунків формули обробляються послідовно ліворуч праворуч, зверху долілиць, текстові блоки ігноруються.

 

4.2 Панель інструментів Математика().

Панель містить кнопки для відкриття інших 9 панелей (палітр), які використовуються для уведення в робочий аркуш математичних операторів і команд.

Призначення палітр:

1) (арифметика) – для уведення цифр від 0 до 9, знаків основних математичних операцій: +, -, *, /, найбільше часто вживаних стандартних функцій , , , , n!, , , .

2) (графіки) - для побудови графіків на площині й у просторі.

3) (матриці) - для уведення векторів і матриць і виконання дій над ними.

4) (рівності) – для уведення знаків присвоювання:=, рівності =, , висновку результатів , , =, завдання операторів користувача .

5) (математичний аналіз) – для завдання операцій, що ставляться до математичного аналізу: інтегралів , , похідних, , , границь , , , сум , , добутків ,

6) (логіка) – для знаків логічних операцій:=, >,<, , , , , ,

7) Programming (програмування) - для побудови програмних блоків.

8) (грецький алфавіт) - для уведення грецьких букв.

9) (символьні обчислення) - для символьних перетворень і обчислень.

 

Текстовий редактор.

Дозволяє постачати робочі аркуші коментарями до формулам та графіків. Для уведення коментарю вибрати в меню (вставка) об'єкт (текстовий блок). Після цього курсор прийме вид червоної вертикальної риси, і чорною рамкою буде виділений текстовий блок.

Текст уводиться, редагується, форматується загальноприйнятими засобами. Початком текстового блоку може служити натискання символу “ (лапки). Для уведення тексту російською мовою встановити стиль і на індикаторі розкладки клавіатури вибрати „російська мова”.

 

Редактор формул.

При наборі формул створюється область формули, у якій з'являється кутовий курсор синього кольору. При уведенні математичних виражень запускається убудований редактор, що перетворить блок у структуру, реалізовану убудованою мовою програмування, що використовується для діалогу із системою. Формульний блок не містить пробілів. Щоб вийти із блоку, досить клацнути лівою клавішею в будь-якому вільному місці робочого аркуша. Після уведення відразу перевірить формулу на наявність помилки. У випадку виявлення помилки відповідний елемент блоку виділиться червоним кольором.

Якщо помилка не виявлена, то відбудеться обчислення. Формульні вираження можуть містити константи, змінні, функції, знаки операцій, круглі дужки. Елементи формул можуть уводиться із клавіатури або з палітр.

Змінні.

Змінні - пойменовані об'єкти, які можуть приймати різні значення. Імена змінних можуть використовувати латинські, грецькі букви й цифри.

Обмеження:

• ім'я починається з букви;
• не містить знаків арифметичних операцій;

§ заголовні й малі літери різні;

§ ім'я не повинне збігатися з іменами убудованих функцій.

Для завдання значень змінним використовується знак присвоювання :=

Роздільником між цілою й десятковою частиною числа служить крапка.

Ранжированна змінна - це змінна, котра приймає значення з деякого діапазону. Задається змінна в такий спосіб: , де, початок і кінець інтервалу, - крок зміни значення змінної. Символ .. можна ввести із клавіатури клавішею; або з палітри . Якщо , тоді . Ранжированна змінна використовується для обчислення значення функцій і побудови графіків.