Приведення системи до виду зручному для ітерацій.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

 

Матрична форма запису (5.6)

Приведемо систему до виду, зручному для ітерацій:

 

 

тобто (5.7).

Розглянемо два способи приведення системи до виду, зручному для ітерацій:

1) У - тому рівнянні системи (5.6) усі доданки перенесемо з лівої в праву частину, крім доданка, що містить у собі і потім розділимо рівняння на . Коефіцієнти визначаються за формулами:

2) Усі доданки - га рівняння переносимо з лівої в праву частину і до обох частин рівняння додамо при цьому коефіцієнти , визначаються за формулами:

.

Метод ітерацій.

 

Нехай система рівнянь приведена до виду, зручному для ітерацій .

Виберемо довільним образом нульове наближення:

.

Звичайно як нульове наближення вибирається стовпець вільних членів: Далі будується ітераційна послідовність за формулою:

(5.8)

Помітимо, що - та компонента наближення обчислюється у наступний спосіб:

.

Th: Якщо , то система рівнянь (5.7) має єдине рішення і послідовність ітерацій (5.8) сходиться до цього рішення зі швидкістю убиваючої геометричної прогресії.

Похибку наближення визначається за формулою:

 

, де – точне рішення.

Метод Зейделя.

 

Нехай дана система рівнянь . За допомогою першого способу приводимо цю систему до виду, зручному для ітерацій: . Вибираємо нульове наближення і будуємо ітераційний процес. Будемо вважати, що значення компонентів наближення відомі, тоді компоненти наближення визначаються за формулою:

 

Таким чином, при обчисленні - її компоненти наближення вже використовуються компоненти наближення з номерами, що менші за . Похибку наближення визначається таким же чином, як і в методі ітерацій.

Теореми збіжності:

Th1: Якщо норма , то послідовність ітерацій, сформована за методом Зейделя сходиться до точного рішення, незалежно від нульового наближення.

Th2: Система (5.6) має єдине рішення, і послідовність ітерацій, сформована за методом Зейделя сходиться до точного рішення, якщо виконано наступну умову:

Приклад5.1.

Знайти наближене рішення, використовуючи методи ітерацій і м. Зейделя з точністю .

Нехай дана система рівнянь.

1) Перевіримо виконання умови для першого рядка

.

Умова не виконана..

Перетворимо вихідну систему таким чином, щоб умова виконалася. Друге рівняння поставимо на місце третього, перше на місце другого. Як перше рівняння візьмемо суму першого і подвоєного третього.

Одержимо систему:

2) Використовуючи перший спосіб приведемо систему до виду, зручному для ітерацій.

Матриця коефіцієнтів має вид:

Обчислимо норму :

.

Отже ітераційний процес буде сходитись до точного рішення .

Вибираємо нульове наближення:

 

3) За методом ітерацій побудуємо перше наближення:

 

 

Знайдемо похибку першого наближення:

 

Процес побудови ітерацій буде закінчено, якщо норма похибки буде менше заданої точності:

Необхідно будувати наступну ітерацію:

Обчислимо друге наближення

 

Визначимо похибку :

 

 

Необхідно будувати третю ітерацію і так дали, поки похибка не стане менше заданої точності.

4) Побудуємо послідовність ітерацій по методу Зейделя. Вибираємо нульове наближення:

Побудуємо перше наближення:

Знайдемо похибку першого наближення:

 

Процес побудови ітерацій буде закінчений, якщо норма похибки буде менше заданої точності:

.

Отже, необхідно будувати другу ітерацію і так дали, поки похибка не стане менше заданої точності.

 

Питання для самоперевірки

1) Яким образом система рівнянь приводиться до трикутного виду?

2) Як реалізується зворотний хід методу Гауса?

3) Як необхідно вчинити, якщо діагональний елемент дорівнює нулеві?

4) Як визначаються й обчислюються норма вектора і норма матриці?

5) Яким чином приводиться система до виду, зручному для ітерацій?

6) Як реалізується метод ітерацій?

7) Яким чином оцінюється похибка рішення, отриманого методом ітерацій?

8) Чим відрізняється метод Зейделя від методу ітерацій?

 

Використовувана література

1) [1] ст. 19-27; ст. 139-151; ст. 151-166;

2) [2] ст. 4-6; ст. 13-40

3) [3] ст. 16-36