Інтерполяційний многочлен Лагранжа з рівновіддаленими вузлами.

 

Хай відомі значення функції в рівновіддалених точках з кроком : ; .

Введемо поняття фази інтерполяції: ; .

Фаза – безрозмірна величина, не залежна від .

Виразимо : . Запишемо через фазу многочлен

,

де .

Помітимо, що ;

.

Підставляємо відповідні вирази в .

.

Погрішність інтерполяції в точці рівна

Максимальна погрішність інтерполяції:

.

Погрішність в точці :

де .

 

Кінцеві різниці.

Введемо поняття кінцевої різниці. Хай відомі значення функції в точках , причому .

Виз. Величина називається кінцевою різницею першого порядку функції в точці з кроком .(Наприклад: ).

Виз. Величина

називається кінцевою різницею другого порядку функції в точці з кроком . (Наприклад: ).

Виз. Кінцева різниця порядку n функції в точці визначається за рекурентною формулою:

.

Кінцеві різниці зручно записувати у вигляді таблиці:

 

 

 

Формула Ньютона для інтерполяції «вперед».

Хай відомі значення функції в точках ,

причому .

Розглядати інтерполяційний многочлен у вигляді:

Коефіцієнти визначимо з умови (6.1) для інтерполяційних многочленів.

1) Хай , тоді .

2) Хай тоді

3) Хай , тоді

.

І так далі, останній коефіцієнт: .

Підставляючи коефіцієнти в , отримаємо многочлен:

.

Отриманий многочлен називається першою інтерполяційною формулою Ньютона або інтерполяційним многочленом Ньютона для інтерполяції “вперед”.

Отримаємо формулу для інтерполяції “вперед” через фазу. Задамо фазу таким чином:

 

Многочлен Ньютона від змінної q має вигляд:

 

 

Формула Ньютона для інтерполяції «назад».

У виведеній формулі за початок відліку вибиралася точка Виберемо за початок відліку точку і шукатимемо інтерполяційний многочлен у вигляді:

 

1) Хай , тоді

2) Хай , тоді

3) Хай , тоді

І так далі, останній коефіцієнт: .

 

Підставляючи знайдені коефіцієнти, отримаємо:

Отримана формула називається другою інтерполяційною формулою Ньютона або інтерполяційним многочленом Ньютона для інтерполяції “назад”.

Отримаємо формулу для інтерполяції ”назад” через фазу. Задамо фазу таким чином:

 

Формула Ньютона для інтерполяції ”назад” через фазу має вигляд:

Зауваження: Недоліком многочлена Лагранжа є те, що при додаванні хоча б однієї точки інтерполяції, необхідно перерахувати все . Для многочлена Ньютона додавання точки приводить до додавання одного доданку без перерахунку попередніх.

Приклад6.1.

Побудувати інтерполяційні многочлени Лагранжа і Ньютона від змінних і , якщо відомі значення функції в наступних вузлах:

 

I
	-1
			-4
	-2	-1

 

1) Многочлен Лагранжа:

 

 

Перевірка:

Отже, многочлен побудований вірно.

2) Многочлен Лагранжа через фазу q:

 

Перевірка:

 

3) Побудуємо таблицю кінцевих різниць:

 

, h = 1.

4) Многочлен Ньютона для інтерполяції “вперед”:

 

 

5) Многочлен Ньютона для інтерполяції “вперед через” фазу:

 

6) Многочлен Ньютона для інтерполяції ”назад”:

7) Многочлен Ньютона для інтерполяції “назад через” фазу:

 

Перевірка:

 

Отже, многочлен побудований вірно.

 

Питання для самоперевірки

1) Який многочлен називається інтерполяційним?

2) Як записується многочлен Лагранжа?

3) Яка погрішність інтерполяційного многочлена?

4) Як виводиться інтерполяційний многочлен Лагранжа для рівновіддалених вузлів?

5) В якому випадку використовується фаза інтерполяції?

6) Що називається кінцевою різницею функції 1-го і 2-го порядку?

7) Як будуються многочлени Ньютона для інтерполяції «вперед» та «назад»через х?

8) Як будуються многочлени Ньютона для інтерполяції «вперед» та «назад»через ?

9) Що вибирається за початок відліку у формулах для інтерполяції «назад»?

 

Використовувана література

1) [1] стор. 27-37;стор. 43-55

2) [2] стор. 109-118

3) [3] стор. 6-15