Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

Рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку Δ S и вычислим давление на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m ₀ υ -(- m ₀ υ) = 2 m ₀ υ,

где: т ₀- масса молекулы, υ - ее скорость.

Рис.7.5.

За время Δ t площадки Δ S достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием Δ S и высотой υ Δ t. Число этих молекул равно n Δ Sυ Δ t (n - концентрация молекул).

Необходимо учитывать, что реально молекулы движутся к площадке Δ S под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул, т.е. 1/6 часть, движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку Δ S будет 1/6 n Δ Sυ Δ t. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс

Δ P =2 m ₀ υ∙ n Δ Sυ Δ t = nm ₀ υ² Δ S Δ t.

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

p =Δ Ρ/ (Δ S Δ t) = nm ₀ υ². (7.12)

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями υ ₁, υ ₂,..., υ_N, то целесообразно рассматривать среднюю квадратную скорость

υ _cк= (7.13)

характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (3.1) с учетом (3.2) примет вид

p= nm ₀ υ _cк ². (7.14)

Выражение (7.14) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов.

Учитывая, что n=N/V,получим

pV= Nm ₀ υ _cк ²,

или

pV= N = W, (7.15)

где W — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Так как масса газа m=Nm ₀, то уравнение (7.14) можно переписать в виде

pV= mυ _cк ².

Для одного моля газа т=М (М — молярная масса), поэтому

pV_m= Mυ _cк ²,

где V_m — молярный объем. С другой стороны, по уравнению Клапейрона - Менделеева, pV_m=RT. Таким образом,

RT = Mυ _cк ²

откуда

υ_cк = . (7.16)

Так как

М= N_А m ₀,

где m ₀ — масса одной молекулы, а N_А — постоянная Авогадро, то из уравнения (7.16) следует, что

υ_cк= = , (7.17)

где: k=R/N_A — постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют υ_cк =480 м/с, водорода – 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости будут соответственно 40 и 160 м/с.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа

< w ₀> = = = kТ (7.18)

пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Из этого уравнения следует, что при N =0 имеем < w ₀>=0, т. е. при 0 К прекращается поступательное движение молекул газа, а следовательно, его давление равно нулю. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа, и формула (7.18) раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры.