Магнитное поле. Закон био – савара - лапласа

Магнитное поле описывается вектором напряженности Н. Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции , связан с вектором напряженности следующим соотношением:

, (где ед. измерения [ В ]=Тл, [ Н ] = )

где m ₀ — магнитная постоянная, m — магнитная проницаемость среды, показывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков Н усиливается за счет поля микротоков среды.

Закон Био - Савара - Лапласа для проводника с током I, элемент которого dl создает в некоторой точке А индукцию поля , записывается в виде

, (16.2)

где — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий пo направлению с током, — радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля, r — модуль радиуса вектора .

·

·

·

Направление перпендикулярно и , т.е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление , если поступательное движение винта

Рис. 16.1. соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора определяется выражением

, (16.3)

где a — угол между векторами и .

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

. (16.4)

Расчет характеристик магнитного поля ( и ) по приведенным формулам в общем случае довольно сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био-Савара-Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет довольно просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.

Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины. В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («от нас»).

b

I

a

r

da

rda

a

Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол a (угол между векторами и ), выразив через него все остальные величины. Из этого следует, что

(радиус дуги СD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать

Рис. 16.2. прямым). Подставив эти выражения в (16.3), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника равна

, (15.5)

Так как угол a для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до p, то, согласно (16.4) и (16.5)

,

следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

. (16.6)

Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового направления - вдоль нормали от витка.

·

Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin a = 1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (16.3),

Рис. 16.3. .

Тогда .

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

.