Применение модели линейного программирования

Компания «Металлик» открыла новый цех по производству двух продуктов: металлических поддонов и аккумулирующих устройств. Этот цех готов начать работу, имея в распоряжении 5 металлоформовочных и 5 металлорежущих станков, которые взяты в аренду у местной арендной фирмы за 30 ДЕ в месяц для каждого станка. Производственная мощ­ность каждого станка составляет 400 часов в месяц. Дополнительные станки не могут быть получены.

Количество машино-часов на производство единицы продукции:

 

Бухгалтер цеха представил следующие данные: (ДЕ)

Спрос на аккумулирующие устройства неограничен, а относитель­но поддонов «Металлик" полагает, что их можно продать не более 800 шт. в месяц. Сформулирована модель линейного программирования, и соответствующий график иллюстрируют эту ситуацию. «Металлик» рас­считывает максимизировать суммарную маржинальную прибыль от но­вых операций, придерживаясь некоторых ограничений. Компания наме­ревается достичь оптимального уровня, который определен в точке, обозначенной на графике ОР.

Модель линейного программирования

Максимизировать СМП= 4 ДЕ • П + 7 ДЕ • У

при условиях:

П+2-У≤2000;

2 • П+2-У≤2000;

ПС 800;

П, У э О,

где П— количество произведенных и проданных поддонов;

У— количество произведенных и проданных аккумулирующих уст­ройств;

СМП— суммарная маржинальная прибыль.

Графическое представление

Каждую из следующих ситуаций рассмотрите независимо.

А. Вычислите максимальную суммарную маржинальную прибыль, которая может быть получена, если цена продажи аккумулирующего уст­ройства снизится с 27 до 23 ДЕ.

Б. Определите максимальную сумму, которая может быть потраче­на на рекламу для того, чтобы увеличить спрос на поддоны до 1000 шт. в месяц.

В. Определите эффект влияния на операционную прибыль возвра­та одного металлоформовочного станка арендной фирмы, предполагая, что затраты на аренду устранимые.

Приложение 2. Домашние упражнения

Задания

1. Оптимальный производственный план. Корпорация «IT» со­бирает и продает два продукта — принтеры и компьютеры. Покупатели могут купить отдельно компьютер либо компьютер вместе с принтером. Принтеры отдельно от компьютера не продаются. В результате количе­ство проданных принтеров меньше или равно количеству проданных компьютеров. Маржинальная прибыль на один компьютер составляет 100 ДЕ, а на один принтер — 200 ДЕ.

На сборку каждого принтера уходит 6 ч на производственной ли­нии 1 и 10 ч на производственной линии 2, на сборку каждого компьюте­ра—4 ч на производственной линии 1. (Многие узлы компьютера уже со­браны внешними поставщиками.) Производственная линия 1 работает 24 часа в сутки, производственная линия 2—20 часов в сутки.

Пусть х— количество принтеров, a y — количество компьютеров.

А. Выразите все взаимосвязи в модели линейного программирова­ния.

Б. Какая комбинация принтеров и компьютеров будет максимизи­ровать операционную прибыль корпорации «IT». Используйте для реше­ния задачи графический метод и метод проб и ошибок.

2. Минимизация затрат, структура удобрений. Агротехнический центр, по совету Сэма Брауна, решил распылить по крайней мере 4800 фунтов специального азотного удобрения и по крайней мере 5000 фун­тов специального фосфатного удобрения, чтобы увеличить свой урожай. Никакие другие ингредиенты в чистом виде не нужны.

Дилер предлагает 100-фунтовые пакеты VIM по цене 10 ДЕ за каж­дый. Один пакет VIM содержит эквивалент 20 фунтов азота и 80 фунтов фосфата. Доступны также 100-фунтовые пакеты VOOM по цене 30 ДЕ за один пакет. Этот пакет содержит эквивалент 75 фунтов азота и 25 фун­тов фосфата.

Пусть х — количество пакетов VIM, a y— количество пакетов VOOM.

Определите, сколько пакетов VIM и VOOM должен закупить агро­технический центр для того, чтобы получить необходимые удобрения при минимальных затратах. Решите проблему графически.

3. Оптимальный ассортимент продукции. Корпорация «Олвейс» располагает сетью продовольственных магазинов, открытых 24 часа в сутки. Каждый магазин имеет стандартную торговую площадь 40 000 футов². Все товары классифицированы по двум группам: бакалейно-га-строномические и товары повседневного спроса. «Олвейс» требует, что­бы каждый магазин отводил минимум 10 000 футов² под бакалейно-гастрономические товары и минимум 8 000 футов² под товары повседневно­го спроса. В рамках этих ограничений управляющий магазина может выбирать ассортимент продукции.

Управляющий магазина в городегоценивает маржинальную при­быль на 1 фут² площади:

бакалейно-гастрономические товары 10 ДЕ;

товары повседневного спроса 4 ДЕ.

А. Сформулируйте проблему, стоящую перед управляющим мага­зином, как модель линейного программирования. Буквой G обозначьте количества футов² торговой площади для бакалейно-гастрономических товаров, а буквой D— футы² площади для товаров повседневного спроса.

Б. Почему «Олвейс» устанавливает минимальные границы на тор­говые площади для каждого вида товаров?

В. Определите оптимальную структуру (ассортимент) двух видов товаров для магазина в городе Z. Используйте метод проб и ошибок и графический метод. В последнем случае на горизонтальной оси отметь­те данные о бакалейно-гастрономических товарах, а на вертикальной оси — о товарах повседневного спроса.

 

Приложение 3. Вопросы для самопроверки

1. Использование моделей линейного программирования наибо­лее целесообразно для долгосрочных решемий, включающих линейные взаимосвязи:

а) да; б) нет.

2. Типичная целевая функция в модели линейного программирования:

а) максимизирует объем производства; б) минимизирует количе­ство информации для специальных проектов; в) и то, и другое; г) нито,ни другое.

3. Наиболее критической фазой линейного программирования яв­ляется использование пакетов прикладных программ на компьютере:

а) да; б) нет.

4. Модели линейного программирования применимы к ситуациям, когда существуют более чем три ограничения:

а) да; б) нет.

5. Линия равной суммарной маржинальной прибыли на графике линейного программирования имеет такой же угол наклона, как и целе­вая функция:

а) да; б) нет.

6. Основные предположения в модели линейного программирова­ния заключаются в следующем:

а) все затраты являются переменными; б) уравнения ограничений могут быть выражены в вероятностном виде; в) верно и то, и другое; г) не верно ни то, ни другое.

7. Компания планирует расширить свою деятельность по сбыту продукции открытием нескольких небольших филиалов. Для этого она располагает, капиталом 10 400 000 ДЕ. Компания рассматривает откры­тие только двух типов филиалов: с 20 служащими (тип А) и с 10 служа­щими (тип В). Первоначальные денежные вложения ожидаются в разме­ре 1 300 000 ДЕ для филиалов типа А и 670 000 ДЕ для филиалов типа В. Ожидаемое годовое поступление денег от операций (прибыль) составля­ет 92 000 ДЕ для филиалов типаЛ и 36 000 ДЕ для филиалов типа В. Ком­пания предполагает нанять не более 200 служащих для новых филиалов и открыть их не более 20. Для решения вопроса, сколько филиалов долж­но быть открыто, будет использоваться линейное программирование.

Какие из следующих уравнений в модели линейного программиро­вания не являются ограничениями:

а) А + В ≥ 20; б) 20 • А + 10 • В ≤ 200, в) 92 000 • А + 36 000 • B ≤ 128 000; г) 1 300 000 • А + 670 000 • В ≤ 10 400 000.

8. Компания «Гант» производит продукты А и G. Удельная маржи­нальная прибыль на один галлон составляет 5 ДЕ для А и 4 ДЕ для G. Оба продукта состоят из двух ингредиентов, D и К'. Продукт А содержит 80% D и 20% К. Соотношение ингредиентов для G: 40% D и 60% К. Теку­щие запасы материала D— 16 000 галлонов, материала К— 6000 галло­нов. Компания, производящая D и К, бастует, и в ближайшем будущем производство и поставка этих продуктов невозможны. Компания «Гант» хочет определить количество галлонов для продуктов Л и G, которое она должна произвести при существующих запасах основных материалов таким образом, чтобы максимизировать суммарные доходы:

х₁ —количество галлонов А;

х₂ — количество галлонов G;

х₃ — количество галлонов D;

х₄ — количество галлонов К.

Выберите правильный ответ для каждого требования. В пунктах Г и Д покажите вычисления.

А. Целевая функция в этой проблеме должна быть выражена:

1) F_max = 0 x ₁ + 0 x ₂ + 0 x ₃ + 5 x ₄;

2) F_max = 5 x ₁ + 4 x ₂ + 0 x ₃ + 0 x ₄;

3) F_max = 5 x ₁ + 4 x ₂ + 0 x ₃ + 0 x ₄;

4) F_max = x ₁ + x ₂ + 5 x ₃ + 4 x ₄;

5) F_max = 4 x ₁ + 5 x ₂ + x ₃ + x ₄.

Б. Ограничение на количество материала D на складе должно быть выражено в виде:

1) x ₁ + x ₂ ≥ 16000;

2) x ₁ + x ₂ ≤ 16000;

3) 0,4 x ₁ + 0,6 x ₂ ≤ 16 000;

4) 0,8 x ₁ + 0,4 x ₂ ≥16000;

5) 0,8 x ₁ + 0,4 x ₂ ≤ 16 000.

В. Ограничение на имеющееся количество материала К должно быть выражено в виде:

1) x ₁ + x ₂ ≥ 6000;

2) x ₁ + x ₂ ≤ 6000;

3) 0,8 x ₁ + 0,2 x ₂ ≤ 6000;

4) 0,8 x ₁ + 0,2 x ₂ ≥ 6000;

5) 0,2 x ₁ + 0,6 x ₂ ≤ 6000.

Г. Чтобы максимизировать суммарную маржинальную прибыль, компания «Гант» должна произвести:

1) 106 000 галлонов только A;

2) 90 000 галлонов А и 16 000 галлонов G;

3) 16 000 галлонов А и 90 000 галлонов G;

4) 18 000 галлонов А и 4000 галлонов G;

5) 4000 галлонов А и 18 000 галлонов G.

Д. Предполагая, что маржинальная прибыль на один галлон со­ставляет 7 ДЕ для А и 9 ДЕ для G, компания «Гант» должна произвести:

1) 106 000 галлонов только А;

2) 90 000 галлонов Л и 16 000 галлонов G;

3) 16 000 галлонов А и 90 000 галлонов G;

4) 18 000 галлонов А и 4000 галлонов G;

5) 4000 галлонов Л и 18 000 галлонов G.

 

СТРАТЕГИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ