Система текстових задач в курсі математики початкових класів.

В початковому курсі математики розглядаються задачі протягом всього періоду навчання з дотриманням принципів доступності, наступності, послідовності та застосування різних видів наочності залежно від ступеня розвитку абстрактного мислення учнів і з врахуванням інших психологічних особливостей певної групи.

Пропедевтична робота по введенню поняття «задача» проводиться з перших днів навчання математики у першому класі в дочисловий період шляхом маніпуляцій з предметними множинами, які передбачають здійснення перспективних зв’язків до розв’язування текстових задач.

В концентрі «Десяток» при розкриті змісту дій додавання і віднімання та в процесі вивчення обчислювальних прийомів в межах 10 розглядаються такі типи задач:

- на формування дії додавання;

- на формування дії віднімання;

- на збільшення та зменшення на кілька одиниць, сформульовані в прямій формі;

- на різницеве порівняння;

- на знаходження невідомого компонента дії додавання - невідомого доданка;

- на знаходження невідомого зменшуваного;

- на знаходження невідомого від’ємника.

В концентрі «Другий десяток» розглядаються задачі:

- на збільшення та зменшення на кілька одиниць, сформульовані в непрямій формі.

В першому класі розглядаються лише прості конкретні задачі.

Прості задачі – це задачі, які розв’язуються однією дією.

Конкретні задачі – це ті, в яких відображається певна життєво-практична ситуація.

Взагалі в початковому курсі математики всі задачі можна класифікувати так:

1. Залежно від кількості арифметичних дій, якими розв’язуються задачі:

- прості – розв’язуються однією дією;

- складені – розв’язуються двома і більше діями.

2. Залежно від того, чи в задачі відображена конкретна життєва ситуація, чи лише зв’язки між числами, задачі поділяються на:

- конкретні;

- абстрактні.

3. Залежно від того, чи відношення стосується шуканої величини, чи даної, задачі поділяються на два види:

- сформульовані в прямій формі, коли вказане в умові відношення стосується шуканої величини;

- сформульовані в непрямій формі, коли вказане в умові відношення стосується даної величини.

Наприклад, задача № 1. На першій полиці - 6 чашок, а на другій на 2 чашки більше. Скільки чашок на другій полиці?

Задача №2. У Андрійка 5 олівців, це на 2 олівці більше, ніж в Оленки. Скільки олівців у Оленки?

Відповідні скорочені записи задач подамо в таблиці:

Задача 1	Задача 2
I – 6 ч. II-?, на 2 ч. більше.	А. - 5 ол., це на 2 більше О. -?

Задача №1 на збільшення на кілька одиниць, сформульована в прямій формі. Задача №2 на зменшення на кілька одиниць, сформульована в непрямій формі.

4. Залежно від постановки завдання про знаходження шуканої величини розрізняють задачі із запитанням та задачі – вимоги.

5. Залежно від того, в якій послідовності використовуються при записі розв’язання дані в тексті задачі числа, задачі поділяються на зведені і незведені.

Якщо числові дані в текстових задачах розташовані в такій послідовності, в якій використовуються при розв’язанні, то задача називається зведеною; якщо ж послідовність використаних числових даних не співпадає з їх розташуванням в тексті, то задачу називають незведеною.

 

Класифікація простих задач.

Як вказувалося вище, уже в першому класі розглядаються такі прості задачі:

1. на формування дії додавання;

2. на формування дії віднімання;

3. на збільшення та зменшення числа на кілька одиниць, сформульовані в прямій формі;

4. на знаходження невідомого першого чи другого доданка;

5. на знаходження невідомого зменшуваного та від’ємника;

6. на різницеве порівняння;

7. на збільшення та зменшення числа на кілька одиниць, сформульовані в непрямій формі.

У другому класі з перших уроків повторюють всі вивчені в першому класі типи задач і способи їх розв’язування. Крім цього, розглядаються такі задачі:

1. на збільшення та зменшення на кілька одиниць, сформульовані в непрямій формі;

2. на формування дії множення;

3. на формування дії ділення двох видів: а) ділення на рівні частини, б) ділення на вміщення.

4. на збільшення та зменшення числа у кілька разів, сформульовані в прямій формі;

5. на кратне порівняння чисел;

6. на збільшення та зменшення числа у кілька разів, сформульовані в непрямій формі;

7. на знаходження першого чи другого множника;

8. на знаходження невідомого діленого;

9. на знаходження невідомого дільника.

Вище названі типи задач вміщують числа, які повністю охоплюють концентр «Сотня». В підручниках другого і третього класів розглядаються задачі на зв’язки між величинами: ціна-кількість-вартість; швидкість-час-відстань; продуктивність праці-час-виконана робота; маса одного ящика-кількість ящиків-маса всіх ящиків; витрати матеріалу на один виріб-кількість виробів-загальна витрата і т.п.

У четвертому класі зустрічаються усі типи вище названих задач і крім того, прості задачі на знаходження площ земельних ділянок прямокутної форми за їх довжиною і шириною та обернених до них задач. У четвертому класі найчастіше зустрічаються складені задачі.

Система складених задач.

У першому класі початкової школи складених задач немає, а тільки на кінець першого року навчання вводяться підготовчі задачі, тобто задачі з двома запитаннями. В другому класі розглядаються складені задачі, які розв’язуються двома діями, причому в такій послідовності:

1. Задачі, що розв’язуються двома різними діями додавання і віднімання.

2. Задачі, що розв’язуються двома однаковими діями додавання або віднімання.

3. Після розкриття змісту дій множення та ділення розглядаються задачі на кратне порівняння чисел. У складених задачах зустрічаються вимоги, що передбачають не тільки формування нових арифметичних дій, але й зв'язок із раніше вивченими діями та формування відповідних відношень («більше на», «більше у», «менше у», «менше на»). У складених задачах у другому класі використовується не більше двох дій. В третьому та четвертому класах розглядаються такі складені задачі:

1. Задачі на знаходження четвертого пропорційного, які розв’язуються:

а) способом прямого зведення до одиниці;

б) способом оберненого зведення до одиниці;

в) способом відношень.

2. Задачі на різницеве порівняння двох добутків.

3. Задачі на різницеве порівняння двох часток.

4. Задачі на кратне порівняння часток.

5. Задачі на кратне порівняння добутків.

6. Задачі на знаходження суми двох добутків.

7. Задачі на пропорційний поділ.

8. Задачі на знаходження значень величини за двома різницями.

9. Задачі на рух таких типів:

а) задачі на рух в протилежних напрямках;

б) задачі на зустрічний рух;

в) задачі на рух в одному напрямку.

9. Задачі на складне правило трьох, які розв’язуються способом подвійного зведення до одиниці.

10. Задачі на спільну роботу.

Наведемо приклади скороченого запису деяких задач та схеми їх розв’язання.

1) За 5 блокнотів заплатили 35 гривень. Скільки гривень коштують 9 таких блокнотів?

Ціна (с)	Кількість (k)	Вартість (w)
однакова	5 бл. 9 бл.	35 грн. ?
1 бл. 9 бл.	35:5= 9=?

Ця задача на знаходження четвертого пропорційного розв’язується способом прямого зведення до одиниці.

2) 5 тракторів за 4 години зорали 60 га землі. Скільки гектарів землі зорють 7 таких тракторів за 8 годин?

Продуктивність праці (p)	Кількість тракторів (k)	Час (t)	Виконана робота (r)
однакова	5 тр. 7 тр.	4 год. 8 год.	60 га ?
5 тр. 1 тр. 7 тр. 7 тр.	1 год. 1 год. 1 год. 8 год.	60:4= :5= 7= 8=?

Ця задача на складне правило трьох розв’язується способом подвійного зведення до одиниці.

5. Загальні прийоми роботи над задачею.

В роботі над кожною задачею, не залежно проста вона чи складена, дотримуються певної послідовності методичних прийомів, які дозволяють учням краще усвідомити суть задачі, зв’язки між величинами, дозволяють обґрунтувати вибір арифметичних дій для знаходження значень величин, відтворити ситуацію, відображену в задачі, а отже, засвоїти способи розв’язування кожного типу задач. При роботі над задачею слід дотримуватися таких етапів:

1.Читання тексту задачі.

2. Розбір змісту задачі:

- виділення умови та запитання.

3. Обґрунтування суті числових даних та зв’язків між ними.

4. Передбачення шляху знаходження шуканої величини.

5. Скорочений запис тексту задачі – умови і запитання.

6. Ілюстрація задачі.

7. Намічання шляху розв’язування: обґрунтування вибору арифметичних дій для знаходження значень проміжних і шуканої величин.

8. Запис розв’язання задачі.

9. Запис відповіді (розв’язку) задачі.

10. Творча робота над задачею:

- обґрунтування розв’язаної задачі;

- розв’язування задачі іншим способом, якщо це можливо;

- розв’язування виразом або рівнянням;

- складання і розв’язування оберненої задачі;

- видозміна задачі.

Покажемо роботу над складеною задачею.

Задача. З двох селищ назустріч один одному виїхали 2 велосипедисти. Швидкість першого – 12 км/год, а другого – 14 км/год. Через 3 год велосипедисти зустрілися. Яка відстань між селищами?

Текст задачі запишемо скорочено у таблицю:

v	t	s
12 км/год   14 км/год	3 год

Сюжет задачі проілюструємо схемою:

Із схеми очевидно, що шукана відстань складається з відстаней, подоланих кожним велосипедистом за час його руху, тобто S=S₁+S₂.

Після розбору тексту задачі і змісту вчитель в процесі бесіди з учнями заповнює таблицю скороченого запису, а також малює схему-ілюстрацію сюжету задачі, в якій довжині відрізка відповідає значення швидкості кожного велосипедиста, причому більшій швидкості відповідає довший відрізок. Кількості відрізків однакової довжини відповідає час руху, а місце зустрічі позначається прапорцем. Вчитель своїми запитаннями спрямовує мислення учнів в таке русло, яке визначатиме спосіб розв’язування задачі. Для цього ставиться система таких запитань:

- З чого складається шукана відстань між селищами? (S₁ і S₂).

- Якщо були б відомі ці відстані, якою дією знайшли б шукану відстань? (Додаванням)

- Оскільки невідомі S₁ та S₂, то чи можна їх знайти? (Можна, бо існує формула: щоб знайти відстань треба швидкість помножити на час)

- Чи відома швидкість руху та час руху першого велосипедиста? (Так)

- То чому дорівнює відстань, яку проїхав перший велосипедист за 3 год.?(12 3= S₁)

- Аналогічно, чи можемо знайти відстань, яку проїхав другий велосипедист за 3 год.? (Можемо. Для цього 14 3= S₂)

- Отже, чи можемо знайти всю відстань між селищами? (Так)

- Якою дією? (Додаванням отриманих добутків)

- Отже, намітимо план розв’язування:

1) Яку відстань проїхав перший велосипедист?

2) Яку відстань проїхав другий велосипедист?

3) Яка відстань між селищами?

Запишемо розв’язання задачі:

1. 12 3=36 (км) - S₁

2. 14 3=42 (км) – S₂

3. 36+42=78 (км) – S

Відповідь: 78 км – відстань між селищами.

Другий спосіб міркування, що приводить до побудови іншої схеми, яка ілюструє сюжет задачі.

При зустрічному русі велосипедистів швидкість зближення їх за кожну годину дорівнюватиме сумі швидкостей (v₁+v₂) їх руху. Оскільки велосипедисти наближалися протягом трьох годин, то вони подолали відстань, яка дорівнює добутку швидкості зближення і часу руху ((v₁+v₂) t). Схематично міркування і відповідне розв’язання можна зобразити так:

а) міркування від запитання до умови; б) міркування від умови до запитання

а) б)

Очевидно, що дана задача розв’язується по іншому, при цьому мислення учнів спрямовується в інше русло шляхом постановки запитань:

- Як рухались велосипедисти? (назустріч один одному).

- При зустрічному русі об’єкти наближаються один до одного чи віддаляються один від одного? (Наближаються)

- На яку відстань наблизились велосипедисти за 1 год. один до одного? (На відстань, що дорівнює сумі швидкостей. Цю відстань називають швидкістю зближення.)

- Отже, яка швидкість зближення велосипедистів? (12+14=26 км/год.)

- А скільки часу наближаються велосипедисти один до одного? (3 год.)

- Яку відстань подолали велосипедисти за 3 год.? (Щоб знайти її, треба швидкість зближення помножити на час.)

Розв’язання.

1) 12+14=26 (км/год.)

2) 26 3=78 (км) - відстань між селищами.