Індивідуальна самостійна робота «Границя функції. Похідна елементарних функцій».

Знайти границю функцію	Знайти рівняння дотичної та нормалі в даній точці xo	Знайти похідну функції
1. ; 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.	1. , xo =1; 2. , xo = -2; 3. , xo = 2; 4. , xo = 3; 5. , xo = - 3; 6.y = 3 x ^3 – 3 x ^2 + 3, xo = - 1; 7.y = x ^4 – x ^2 – 4, xo = - 4; 8.у = 2 x ^3 – 3 x ^2 – 12 x + 3, xo =1; 9.y =3 x ^3 –5 x ^2+ 4 х, xo = -2; 10.y = x ^4 – 2х +5, xo = - 1; 11. , xo = -2; 12. , xo = -3; 13. , xo = -2; 14. , xo = -2; 15. , xo = - 1; 16. , xo = 1; 17. , xo = -1; 18. , xo = -3; 19. , xo = 2; 20. , xo = -3; 21. , xo = - 3; 22.y = x ^3 – 4 x ^2 + 7, xo = - 1; 23.y = x ^2 – 8 x – 4, xo = 3; 24.у = 4 x ^3 + x ^2 – 5 x + 3, xo = -1; 25.y = x ^3 –3 x ^2+ 2, xo = -2; 26.y = 2 x ^3 – 4х +6, xo = - 1; 27.y = 5 x ^3 + 3х -3, xo = -2	1. у=3х; у= ; 2.у=cosx; у=x ∙ x^6 3.у=lnx; у= -arctgx; 4.у= - х; у= 5^х; 5.у=sinx; у=7^x 6.у=x^-3; у= 3^х; 7.у=х^9; у= -arcctgx; 8.у=arccosx; у= ; 9. у=e ^x; у=13^x; 10. у=5; у=x ^-3 ∙ x^6 11. у=log4x; у= 12. у=arcsinx; у= ; 13. у=х ^-5; у= lоg8x; 14. у= -lnx; у=x^3 ∙ x^6 15. у= 2^х; у=x^3 ∙ x ^-2 16. у=х ^8; у= 7^х; 17. у=lgx; у=x^-8 ∙ x^6 18. у=arctgx; у= ; 19. у=-4х; у= 20. у=10^x; у=log7x; 21. у=arcctgx; у= ; 22. у= ; у=log15x; 23. у=- lgx; у=x^6 ∙ x^9 24. у= - cosx; у=x^6 ∙ x^6 25. у=-8; у= 11^х; 26. у= ; у=log11x; 27. у=log7x; у= ;

 

 

Завдання для самостійної роботи

А

1. Користуючись означенням похідної, знайдіть похідну функції f, якщо:

a) в точці 1;

б) в точці 1;

в) в точці 1;

г) в точці 1.

2. Користуючись означенням похідної, знайдіть похідну функції f, якщо:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Знайдіть миттєву швидкість руху точки, якщо:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4. Рух точки відбувається за законом .

У який момент часу швидкість руху дорівнює:

а) 0; б) 10?

5. Запишіть рівняння дотичної до параболи y= 3x² - 2

у точці а) x₀= -2; б) x₀= 0; в) x₀= 1.

Б

1. Знайти рівняння дотичної до кривої, заданої рівнянням у точці перетину кривої з віссю абсцис.
2. Вказати функцію, для якої є рівнянням дотичної до її графіка в точці А(1;1): a) ; б) ; в) ; г)
3. Обчислити значення похідної функції y = f(x) в точці x=а, користуючись означенням похідної: а) ; б)
4. Точка рухається за законом , де s – шлях у метрах, t – час у секундах. Знайти пройдений шлях у той момент, коли швидкість дорівнює нулю.

В

1. Знайти координати точки дотику дотичної

до кривої, заданої рівнянням

.

2. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до косинусоїди

у точці з абсцисою .

3. Знайти рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x = x₀:

а) ; б) ;

в) .

ТЕМА: ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ

ПЛАН:

1. Правила диференціювання.
2. Похідна складної функції.
3. Друга похідна, її фізичний зміст.
4. Застосування до наближених обчислень.

Правила диференціювання.

Теорема: Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то

(u(x)±(x))’ = u’(x)±n’(x)

для любого х є (a; b). Коротше,

(u±n)’ = u±n’

Доведення: Суму функцій u(x)+n(x), де х є (a; b), яка представляє собою нову функцію, позначимо через f(x) і знайдемо похідну цієї функції,

Нехай х₀ – деяка точка інтервалу (a; b).

 

Тоді

 

Також,

Так як

х₀ – допустима точка інтервалу (a; b), то маємо:

Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена.

Наприклад,

а)

б)

в)

Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість формули (u₁(x) + u₂ (x) +… кінцевого числа складених.

Теорема. Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то

для любого х є (a; b). Коротше,

Доведення. Позначимо похідні через х є (a; b), і найдемо похідну цієї функції, виходячи із визначення.

Нехай х₀ – деяка точка інтервалу (a; b). Тоді

Навіть так як

то

 

Так як х₀ – вільна точка інтервалу (a; b), то маємо

Теорема доведена.

Приклад,

а)

б)

в)

 

Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про похідну де а – число, отримаємо

Приклади.

а)

б)

Похідна частки двох функцій.

Теорема. Якщо функції мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), причому для любого х є (a; b), то

для любого х є (a; b).

Доведення. Позначимо тимчасово через знайдемо використовуючи визначення похідної.

Нехай х₀ – деяка точка інтервалу (a; b).

Тоді,

Навіть, так як

то

і послідовно

Так як х₀ – вільна точка інтервалу (a; b), то в останній формулі х₀ можна замінити

на х. Теорема доведена.

Приклади.

а)

б)

Основні правила диференціювання. Нехай u(x), v(x), – диференційовані в точці х функції,

С –стала.

	;
; ;	;

Похідна складної функції.

Якщо функція y = f (u) має похідну в точці u, а функція u = g (x) – в точці x, то складена функція

y = f (g (x)) диференційована в точці x, причому y ' = f ' (u) ∙ g ' (x). Іншими словами, похідна складеної функції y = f (u), u = g (x) дорівнює добутку похідної від зовнішньої функції, взятої по внутрішньому аргументу u, і похідної від внутрішньої функції, взятої по незалежній змінній x.

Якщо u (x) - диференційовна в точці x функція, то виконуються такі формули диференціювання складених функцій:

Розглянемо приклад.

Приклад 1. Нехай треба обчислити по заданому значенню χ зна­чення функції у, яка задана формулою у = .

Для цього спочатку треба обчислити за заданим значенням х значення u = g(x) = 9 – x², а потім за значенням u обчислити у = f(u) = .

Отже, функція g ставить у відповідність числу x число u, а функ­ція f — числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функцій g і f, і пишуть у = f(g(x))·

Функцію g(x) називають внутрішньою функцією, або проміж­ною змінною, функцію f(u) — зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції у = f(g(x)) в довільній точ­ці х, спочатку обчислюють значення й внутрішньої функції g, а потім f(u).

Приклад 2. Розглянемо функцію у = . Вона є складеною із функцій u = cos х, у = , де cos x — внутрішня функція, — зовнішня функція.

Приклад 3. Запишіть складені функції f(g(x)) і g(f(x)), якщо f(x) = sin х, g(x) = x².

Розв'язання

f(g(x)) = sin g(x) = sin x ²; g(f(x)) = (f(x))² = (sinx)² = sin² х.

Виконання вправ

1. Задайте формулами елементарні функції f і g, із яких побу­дована складена функція у = f(g(x)):

а) у = cos (2 х + 3); б) у = (2x + 3)⁷; в) у = ; г) у = sin² x.

Відповіді: а) u = g(х) = 2х + 3; y = f(u) = cos u; б) и = g(x) =2х+3; у = f(u) = u⁷;

в) u = g(x) =х² +2х; у = f(и) = ; г) u = g(x) = sin x; у = f(u) = u².

У складеній функції у = f(g(x)) присутня проміжна змінна u =g(x). Тому при знаходженні похідної складеної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використову­ючи при цьому спеціальні позначення:

— похідна функції у по аргументу x;

— похідна функції у по аргументу u;

— похідна функції u по аргументу x.

Приклад 1. Знайдіть похідну функції у = (3 x ³ – 1)⁵.

Розв'язання

у = (3х³ – 1)⁵ — складена функція у = u⁵, де u = 3x³ – 1, тоді y' = (u⁵)' · (3х³ – 1)’ = 5u⁴ · 9х = 5(3х³ -1)⁴ · 9х = 45х(3х³ – 1)⁴.

При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов'язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u⁵ на похідну від функції 3 х ³ – 1:

у' = ((3 x ³ – 1)⁵)' = 5(3х³ -1)⁴ · (3 x ³ – 1)' = 5 · (3 x ³ – 1)⁴ · 9 x = 45 x (3 x ³ – 1)⁴.

Приклад 2. Знайдіть похідні функцій:

а) у = ; б) у = sin (3х + 5); в) у = cos²x; г) y = cos x².

Розв'язання

 

б) у' = (sin(3x + 5))' = cos (3х + 5) · (3x· + 5)' = 3 cos(3x + 5);

 

в) у = (cos² x)' = 2 cos x · (cos x)' = 2 cos x · (- sin x) = = -2 cos x sin x = - sin 2x;

г) y’ = (cos x²)' = - sin x² · (x²)' = -2x sin x².