Інваріантність форми диференціала.

Правило знаходження похідної функції від функції (складної функції) має можливість одержати важливу власність диференціала.

Нехай функції y = f (x) i x = (t) такі, що з них можна одержати складну функцію y = f ( (t)). Якщо існують похідні у_х ' x_t ', то

(8)

Диференціал dy, коли х вважати незалежною змінною, визначається за формулою dy = у_x '·dx. Перейдемо тепер до незалежної змінної t: y цьому випадку маємо другий вираз для диференціала dy = y_t'·dt.

Заміною похідної у_t' її виразом (8) одержимо

але (9)

тому

Отже, канонічний вираз диференціала функції виявляється справедливим незалежно від вибору останнього аргументу (незалежної змінної).

Канонічний вираз диференціала функції залишається незмінним при різному доборі аргументу. Ми завжди можемо записати диференціал dx y вигляді:

dy = y_x'dx

не дивлячись на те, чи буде х незалежною змінною, чи ні; різниця лише в тому, що якщо за незалежну змінну вибране t. То dx не довільний приріст х, а диференціал dx як функцію від t. Цю властивість і називають інваріантність форм.

Застосування до наближених обчислень.

При досить малому прирості х аргументу х диференційованої функції f(x) приріст у функції у буде близький за своєю величиною до диференціала функції. Тому приріст функції можна наближено прирівнювати до диференціала функції

або (10)

якщо позначити х = х - х₀, то рівняння (10) приймає вигляд

або (11)

Таким чином, для значення де, близьких до х₀, функцію f (x) наближено можна замінити лінійною функцією. Геометричне це заміні ділянки кривої y=f(x), прилеглої до точки (x₀,f(x₀), відрізком дотичної до кривої в цій точці:

(див. Рис. 1). Беручи значення х₀ = 0 і обмежуючись малими значеннями х, одержимо наближену формулу

Звідси, підставляючи замість f (x) різні елементарні функції, легко одержати ряд формул

(наприклад );

Приведемо декілька прикладів.

Приклад 1. Обчислимо наближено sin 46°.

Розв’язання:

Приймемо за початкове значення незалежної змінної

х₀ = 45° = , а за х= 1° = . Тоді згідно (11)

Приклад 2. Обчислити наближено .

Розв’язання:

Розглянемо функцію і приймемо за початкове значення незалежної змінної x₀ = 4, а за х = -0,0022. Тоді

Приклад 3. Обчислити наближено .

Розв’язання:

Перетворимо вираз, що стоїть під знаком радикала:

, звідки . (1)

При обчисленні введемо функцію , тоді .

Формула запишеться так: , де .

Інакше . (2)

Підставивши (2) у рівність (1), дістанемо

.

Приклад 4. Наближено обчислити значення .

Розв’язання.

В даному випадку .

Нехай , , тоді і за формулою: , отримаємо, що:

.

Приклад 4. Наближено обчислити значення ln 0,97.

Розв’язання.

.

Приклад 4. Наближено обчислити значення (3,045)⁵.

Розв’язання.