Індивідуальна контрольна робота «Похідна та її застосування»

Варіант 1

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -х² + 2х – 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ – 6 х².

3. Дослідіть функцію у = х³ – 3 х та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – х² у точці з абсцисою x_o = -1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х+ на відрізку [1; 3].

Варіант 2

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = х² - 2х + 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х³ - 3х².

3. Дослідіть функцію у = 3 х - х³ та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ + х² у точці з абсцисою x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = - х на відрізку [1; 4].

Варіант 3

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 3х² - 6х + 7.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х² - х³.

3. Дослідіть функцію у = х⁴ - 4х² та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 12х – х³ у точці з абсцисою x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х³ - 4:х на відрізку [0; 3].

Варіант 4

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -3х² + 6х + 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ - 2х².

3. Дослідіть функцію у = х ⁴ – 4х³ та побудуйте її графік

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – 6х² у точці з абсцисою x_o = -1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х - х³ на відрізку [-2; 0].

Варіант 5

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 4х² + 9х – 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х³ – х².

3. Дослідіть функцію у = 2 х³ – х та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – 2х² у точці з абсцисою x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х+ на відрізку [1; 3].

Варіант 6

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = х² - 4х + 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х³ - 12х².

3. Дослідіть функцію у = 12 х - х³ та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ - 3 х² у точці з абсцисою x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = - х на відрізку [1; 4].

Варіант 7

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 4х² -3х + 7.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 4х² - х³.

3. Дослідіть функцію у =2 х⁴ - 4х² та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 12х – 4х³ у точці з абсцисою

x_o = 2.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х³ - 8х на відрізку [0; 3].

Варіант 8

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -4х² + 2 х + 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ - 2х².

3. Дослідіть функцію у = 3х ⁴ – 4х³ та побудуйте її графік

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 4 х³ – 6х² у точці з абсцисою x_o = -2.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = 2х - х³ на відрізку [-2; 0].

Варіант 9

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -5х² + 2х – 6.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 4х³ – 6 х² +1.

3. Дослідіть функцію у = х³ – 12 х та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – х² +2 у точці з абсцисою

x_o = -1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х+ на відрізку [1; 4].

Варіант 10

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 4х² - 2х + 5.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х³ - 3х² - 4.

3. Дослідіть функцію у = 2 х - х³ та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ + 3х² +4 у точці з абсцисою

x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = - х на відрізку [1; 5].

Варіант 11

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = х² - 3х + 8.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 8х² - х³.

3. Дослідіть функцію у = 2 х⁴ - 4х² та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 2х – х³ - 6 у точці з абсцисою

x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х³ - 4:х на відрізку [0; 3].

Варіант 12

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -3х² + 6х - 9.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ - 2х²+4.

3. Дослідіть функцію у = х ⁴ – 4х³+1 та побудуйте її графік

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – 6х² -2 у точці з абсцисою

x_o = -3.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = 8х - х³ на відрізку [-2; 1].

Варіант 13

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 4х² + 3х – 6.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 6х³ – х²+2.

3. Дослідіть функцію у = 2 х³ – х - 2 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – 2х² +2 у точці з абсцисою

x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = 2х+ на відрізку [1; 4].

Варіант 14

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = х² - 4х +7.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ - 12х².

3. Дослідіть функцію у = 4 х - х³ та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 1 - х³ - 3 х² у точці з абсцисою

x_o = 3.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = - х на відрізку [1; 5].

Варіант 15

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 4х² -3х - 8.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 5х² - х³- 6.

3. Дослідіть функцію у =2 х⁴ - 4х²+1 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 12х – 4х³ – 4 у точці з абсцисою

x_o = 2.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х³ - 4х на відрізку [0; 4].

Варіант 16

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -4х² + 3 х + 4.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ - 8х² - 4.

3. Дослідіть функцію у = х ⁴ – 4х³ – 2 та побудуйте її графік

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 4 х³ – 5х² - 4 у точці з абсцисою

x_o = -2.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = 8х - х³ - 2 на відрізку [-2; 1].

Варіант 17

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -х² + 8х – 7.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ – 6 х²+4.

3. Дослідіть функцію у = х³ – 2 х та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – х² – 5 у точці з абсцисою

x_o = -1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = 5х+ на відрізку [1; 3].

Варіант 18

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 4х² - 2х - 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х³ - 3х²+4.

3. Дослідіть функцію у = 3 х - 2 х³ та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ + х² – 5 у точці з абсцисою

x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = - 2х на відрізку [1; 5].

Варіант 19

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = х² - 12х + 4.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 4х² - х³+3.

3. Дослідіть функцію у = х⁴ - 4х² - 2 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 2х – х³ +4 у точці з абсцисою

x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х³ - 3х +3 на відрізку [0; 3].

Варіант 20

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -х² - 6х - 4.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ - 2х² +4.

3. Дослідіть функцію у = х ⁴ – 4х³ +1 та побудуйте її графік

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – 6х² - 3 у точці з абсцисою

x_o = -3.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = 3х - х³ на відрізку [-2; 1].

 

Варіант 21

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 4х² + 2х + 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х³ – х² - 2.

3. Дослідіть функцію у = 2 х³ – х +1 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – 2х² – х у точці з абсцисою x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у =4 х+ на відрізку [1; 4].

Варіант 22

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = х² - 7х - 4.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х³ - 2х²+4.

3. Дослідіть функцію у = 12 х - х³ - 3 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ - 3 х² - 4 у точці з абсцисою

x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = - 3х на відрізку [1; 3].

Варіант 23

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 4х² +2х + 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 4х² - х³ - 4.

3. Дослідіть функцію у = х⁴ - 4х² – 4 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 12х – 4х³ +1 у точці з абсцисою

x_o = 2.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х³ - 3х на відрізку [0; 3].

Варіант 24

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -2х² + х + 1.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ - 2х²+ 3.

3. Дослідіть функцію у = 3х ⁴ – х³ +1 та побудуйте її графік

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 4 х³ – 6х² +2 у точці з абсцисою

x_o = -2.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = 5х - х³ на відрізку [-2; 1].

Варіант 25

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -х² + 4х – 5.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ – 6 х² - 6.

3. Дослідіть функцію у = х³ – 3 х+3 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – х² - 3 у точці з абсцисою

x_o = -3.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = 8х+ на відрізку [1; 4].

Варіант 26

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = х² - 4х +5.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х³ - 3х² +5.

3. Дослідіть функцію у = 3 х - х³ +3 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ + х² + 5 у точці з абсцисою

x_o = 4.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = - 5х на відрізку [1; 3].

Варіант 27

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 3х² - 2х + 5.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х² - х³+4.

3. Дослідіть функцію у = х⁴ - 4х² – 2 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 12х – х³ +5 у точці з абсцисою

x_o = 3.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х³ - 4х - 1 на відрізку [0; 2].

 

З історії розвитку диференціального числення...

 

Розділ математики, в якому вивчаються похідні та їх застосування до дослідження функцій, називається диференціальним численням.

Термін „ похідна” є буквальним перекладом на російську французького слова derivee, яке ввів у 1797 році Ж. Лагранж (1736 - 1813); він же ввів сучасні позначення f ^', y ^'. Така назва відображає зміст поняття: функція

f ^' (x) походить від f (x), є похідною від f (x).

І. Ньютон називав похідну функцію флюксією, а саму функцію – флюентою. Г. Лейбніц говорив про диференціальне відношення і позначав похідну як df/dx. Це позначення також часто зустрічається в сучасній літературі.

Диференціальне числення, створене Ньютоном і Лейбніцом порівняно недавно, в кінці XVII ст. Тим дивовижніше, що задовго до цього Архімед розв’язав задачу на побудову дотичної до такої складної кривої, як спіраль. Епізодично поняття дотичної (яке пов’язане з поняттям похідної) зустрічалось у працях італійського математика Н. Тартальї

(бл. 1500 – 1557) – тут дотична з’явилася під час вивчення питання про кут нахилу гармати, при якому забезпечується найбільша дальність польоту снаряда. І Кеплер розглядав дотичну під час розв’язування задачі про найбільший об’єм паралелепіпеда, вписаного в кулю даного радіуса.

У XVII ст. На основі вчення Г. Галілея про рух активно розвивалася кінематична концепція похідної. Видатну роль у розвитку математики диференціального числення відіграв французький математик П’єр Ферма (1601 – 1665).

Систематичне вчення про похідні розвинуто Лейбніцом і Ньютоном. Якщо Ньютон виходив в основному із задач механіки, то Лейбніц переважно виходив з геометричних задач.

Говорячи про наступний розвиток ідей аналізу (а вони дуже швидко завоювали популярність і знайшли багатьох послідовників), слід насамперед назвати імена учнів Лейбніца – братів Бернуллі. Неоцінимий внесок у розвиток диференціального числення Л. Ейлера, К.Гауса, Лагранжа, О. Коші, Б. Больцано.

Французький мислитель Вольтер зауважив, що диференціальне числення є мистецтвом обчислювати і точно вимірювати речі, існування яких не можна довести.

Ідеї математичного аналізу захоплювали і Волинського математика, творця української науки початку XXI ст. Михайла Кравчука.

 

ЛІТЕРАТУРА:

1. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика 5-11 класи.- К.: Шкільний світ, 2001.

2. Алгебра і початки аналізу: Підр. для 10-11 кл. середн. шк. /А. М. Колмогоров, О.М. Абрамов і інш. - К.: Просвіта, 1994.

3. Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу. 10-11кл. – К.: Зодіак-Еко, 2001.

4. Слєпкань З.І., Грохольська А.В.Збірник задач з алгебри і початків аналізу. Навч. посіб. для 10-11 кл. серед. шк.. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2003.

5. Саакян С.М. и др. Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1990.

Роганін О.М. Алгебра і початки аналізу. 11 кл. Розв’язання всіх вправ. – Харків: Фоліо, 2000.