Самостійна робота «Похідна елементарних функцій. Застосування похідної до наближених обчислень.»

1. Знайти:

	наближене значення	похідну складної функції
		cos 18˚	(1,005)^4	у = сtg(2 x ^2 + 1)
		sin 50˚	(4,013)^3	у = 5^x · ln 2x
		cos 66˚	(2,025)^5	у= sin2x - 7x
		sin 25˚	(3,014)^6	у= х cos 3x
		cos 67˚	(1,015)^3	у = ln(x^3 + 5х)
		sin 91˚	(7,022)^4	у = xe ^5x
		cos 42˚	(2,033)^5	у =
		sin 38˚	(3,011)^4	у = 5 x · ln 4х
		cos 56˚	(8,004)^3	у= 4^х+5^2х-7
		sin 49˚	(2,003)^6	у=2x · sin (2x+1)
		cos 17˚	(1,035)^4
		sin 51˚	(4,017)^3
		cos 65˚	(2,035)^5
		sin 35˚	(3,011)^6	у = tg(5 x ^3 + 2х)
		cos 62˚	(1,014)^3	у = 3^x · ln 7x
		sin 93˚	(7,025)^4	у= cos9x - 8x^3
		cos 43˚	(2,037)^5	у= 3х sin 4x
		sin 39˚	(3,019)^4	у = ln(x^4 + 4х)
		cos 53˚	(8,008)^3	у = 2xe ^7^x
		sin 44˚	(2,009)^6	у =
		cos 67˚	(6,002)^4	у = 4 x · ln 3х
		sin 97˚	(4,037)^5	у= 5^х+6^14^х-7
		cos 47˚	(2,029)^4	у=7x · sin (3x^3+x)
		sin 33˚	(5,038)^3
		cos 57˚	(3,039)^6

2.Знайти:

похідні, використовуючи правила диференціювання:
суми (різниці): (u ± v)' = u' ± v'	добутку: (u ∙ v)' = u'∙v + v'∙u	частки:
1.y = x ^2- cos x + ; 2.у = 2 x + cos x - ; 3.у= 2 x + sin x – lnx; 4.у= x ^2- sin x + ; 5.у=2 x - sin x + ; 6.y =x^2- 4x + tgx; 7.у= - x ^3 + +ctg x; 8.y = 5 x – ln x + ; 9.y = + - ctgx; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14.y =3 x ^3- sin x - ; 15.у = 5 x^3 - cos x - ; 16.у= 2 x^4 - sin x +5 lnx; 17.у= 3 x ^3+ 4sin x - ; 18.у=5 x - 2sin x + ; 19.y =3x^2- 8x - 4tgx; 20.у= x ^3 + - ctg x; 21.y = 7 x^3 +3 ln x - ; 22.y = - + tgx; 23. ; 24. ; 25. ; 26. ; 27.у=5 ^x - 2sin x + .	1.у= - x ^3 ∙ ctg x; 2.y = (5 x – 3) ∙ ln x; 3.y = ∙ ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8.y =cos x ∙ ; 9.у = (2 x +5)∙ ; 10.у= sin x ∙ ; 11.у= (x ^2+5х)∙ lnx; 12.у=(2 x^3 +3х)∙ ; 13.y =(x^2- 4x) ∙ tgx; 14.у= ∙ ctg x; 15.y = (2 x^3 + 3) ∙ ln x; 16.y = ∙ ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21.y =4cos x ∙ ; 22.у = (2 x^3 +5)∙ ; 23.у= sin x ∙ ; 24.у= (2 x ^2- 5х)∙ lnx; 25.у=(5 x^3 - х)∙ ; 26.у= ∙ ctg x; 27. .	1.f(x) = ; 2.f(x) = ; 3.f(x) = ; 4.f(x) = ; 5.f(x) = ; 6.f(x) = ; 7.f(x) = ; 8.f(x) = ; 9.f(x) = ; 10.f(x) = ; 11.f(x) = ; 12.f(x) = ; 13.f(x) = ; 14.f(x) = ; 15.f(x) = ; 16.f(x) = ; 17.f(x) = ; 18.f(x) = ; 19.f(x) = ; 20.f(x) = ; 21.f(x) = ; 22.f(x) = ; 23.f(x) = ; 24.f(x) = ; 25.f(x) = ; 26.f(x) = ; 27.f(x) = .

Завдання для самостійної роботи

А 1. Знайдіть похідні функцій:

 

є) ; ж) ; з) ; к) ; л) ; м) .

а) ;

 

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

2. Для функції знайти:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Обчислити значення похідної функції в точці x₀, якщо:

а) ; б) ;

в) ; г)

Б 1. Знайдіть похідні функцій:

а) ; д) ;

б) ; е) .

в) ;

г) ;

2. Розв’язати рівняння , якщо:

а) ;

б) .

3. Знайти область визначення похідної функції:

а) ; б) .

4. Розв’язати рівняння , якщо .

 

В

1. Знайти точку графіка функції , у якій не можна побудувати до нього дотичну.

2. Знайти похідну функції:

а) в) г)

б) д)

3. Розв’язати нерівність , якщо:

а) ; б) .

 

ТЕМА: Зростання, спадання та екстремуми функцій.

ПЛАН:

1. Ознаки зростання і спадання функції. Екстремум функції.

2. Застосування похідної до побудови графіків та їх досліджень.

3. Найбільше та найменше значення функції на проміжку.

Ознаки зростання і спадання функції. Екстремум функції

За допомогою похідної можна встановити проміжки зростання і спадання функції.

ОЗНАКА 1. Якщо f ' (x) > 0 на проміжку, то функція f (x) зростає

на цьому проміжку.

ОЗНАКА 2. Якщо f ' (x) < 0 на проміжку, то функція f (x) спадає на

цьому проміжку.

Проміжки зростання і спадання функції часто називають проміжками монотонності цієї функції.

__________________________________________________________________________________

 

СХЕМА №1

Знаходження проміжків зростання та спадання

функції можна виконувати за таким планом:

1.Знайти область визначення заданої функції y = f (x).

2.Знайти похідну f ' (x).

3.Розв`язати нерівності (методом інтервалів):

а) f ' (x) > 0, вказати проміжки зростання функції y = f (x);

б) f ' (x) < 0, вказати проміжки спадання функції y = f (x).

_________________________________________________________________________________

 

ОЗНАЧЕННЯ 1. Внутрішні точки області визначення функції, у яких похідна дорівнює нулю, або не існує називаються критичними

(стаціонарними).

Ці точки розбивають область визначення функції на проміжки, в яких похідна зберігає сталий знак. (Теорема Дарбу).

Розглянемо функцію y = f (x), яка визначена в деякому околі точки x₀ і має похідну в цій точці.

 

ТЕОРЕМА ФЕРМА: Якщо x₀ – точка екстремуму диференційованої

функції y = f (x), то f ' (x₀) = 0.

П`єр Ферма – французький математик (1601-1665)

Теорема Ферма має наочний геометричний зміст: в точці екстремуму дотична паралельна осі абсцис, і тому її кутовий коефіцієнт f ' (x₀) дорівнює нулю.

Усі точки екстремуму є стаціонарними (обернене твердження невірне).

Сформулюємо достатні умови того, що стаціонарна точка є точкою екстремуму (максимуму або мінімуму функції).

ТЕОРЕМА. 1) Якщо функція f неперервна в точці x₀, а f ' (x) > 0 на

інтервалі (а; x₀) і f ' (x) < 0 на інтервалі (x₀; в), то

x₀ – точка максимуму.

ТЕОРЕМА. 1) Якщо функція f неперервна в точці x₀, а

f ' (x) < 0 на інтервалі (а; x₀) і f ' (x) > 0 на

інтервалі (x₀; в), то x₀ – точка мінімуму.

Або: якщо похідна при переході через стаціонарну точку змінює свій знак з „+” на „ -”, то ця стаціонарна точка є точкою максимуму;

якщо похідна при переході через стаціонарну точку змінює свій знак з „ -” на „+”, то ця стаціонарна точка є точкою мінімуму.

СХЕМА № 2

Дослідження функції на екстремум.

1. Знайти область визначення заданої функції y = f (x).

2. Знайти похідну f ' (x).

3. Знайти критичні точки.

4. Відмітити критичні точки на координатній прямій, визначити знак похідної і дослідити характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на якій робимо область визначення.

5. Визначити відносно кожної критичної точки, чи є вона точкою максимуму, мінімуму або не є точкою екстремуму взагалі.

 

Приклад 1. Знайдіть проміжки монотонності функції у = х³ - 3х².

Розв'язання

1. Область визначення функції: D(y) = R.

2. Знаходимо похідну у' = 3х² -6х.

3. Розв'язуємо нерівності: а) у' > 0; б) у' < 0. Розв'язуємо ці не­рівності методом інтервалів, для цього знаходимо нулі по­хідної: 3 х² - 6х = 0, 3х(х - 2) = 0, х = 0 або х = 2. Наносимо на координатну пряму (рис. 37) нулі похідної і ви­значаємо знаки похідної на кожному проміжку:

y'(-1) = 3 · (-1)² - 6 · (-1) = 3 + 6 = 9 > 0;

y'(1) = 3 · І² – 6 - 1 = -3 < 0;

у'(3) = 3 · 3² – 6 · 3 = 27 - 18 = 9 > 0.

а) у' > 0 в кожному із проміжків (- ; 0); (2; + ), отже, функція на цих проміжках зростає.

б) у' < 0 на проміжку (0; 2), отже, функція на цьому проміжку спадає.

Відповідь: функція зростає на кожному із проміжків (- ;0); (2;+ ); спадає на проміжку (0; 2).

Приклад 2. Знайдіть точки екстремуму функції f(x) = х³ – 3х.

Розв'язання

1. Область визначення даної функції — R.

2. Знайдемо f`(x): f`(x) = (x³ - 3x)' =3х²- 3. Похідна існує для всіх x є R.

3. Знайдемо стаціонарні (критичні) точки: f(x) = 0, 3 х² - 3 = 0, х² — 1 = 0, x = ±1.

4. Наносимо область визначення та стаціонарні точки на коор­динатну пряму (рис. 48 ) і визна­чимо знак похідної на кожному проміжку:

f`(-2) = 3 · (-2)² - 3 = 9 > 0;

f`(0) = 3 · (0)² - 3 = -3 < 0;

f`(2) = 3 · (2)² - 3 = 9 > 0.

5. Точка х = -1 є точкою максимуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «+» на «-»: х_max = -1.

Точка х = 1 — є точкою мінімуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «-» на «+»: х_min = 1.

Відповідь: х_max= -1, х_min= 1.

Приклад 3. Знайдіть екстремуми функції f(x) = х⁴ - 4х³.

Розв'язання

1. Область визначення функції — R.
2. Знайдемо похідну:

f`(x)= (x⁴ – 4х³) = 4 x ³ – 12 х² = 4 x ²(х – 3).

1. Знайдемо стаціонарні (критичні) точки: f`(x) = 0, 4 x ²(x – 3) = 0, x = 0 або х = 3.

4. Наносимо стаціонарні точки на координатну пряму (рис. 49) та визначаємо знак похідної на кож­ному інтервалі.

5. x = 3 — точка мінімуму, бо при переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+»: х_min = 3.

Точка x = 0 не є точкою екстремуму, бо похідна не змінює знак при переході через цю точку.

Отже, у_min = f (3) = 3⁴ – 4 · 3³ = – 27.

Відповідь: у_min = f (3) = – 27.