Застосування похідної до побудови графіків та їх досліджень. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Застосування похідної до побудови графіків та їх досліджень.



 

Однією із основних задач математики є дослідження функції. Використання похідної значно полегшує задачу дослідження функції, а разом з тим і побудову її графіка.

СХЕМА

Дослідження функції і побудови її графіка:

1. Знаходимо область визначення функції.

2. Знаходимо точки перетину графіка з координатними осями.

3. З'ясовуємо парність (непарність), періодичність функції.

4. Знаходимо похідну та стаціонарні точки.

5. Знаходимо проміжки зростання, спадання, точки екстремуму та екстремальні значення функції.

6. З'ясовуємо поведінку функції на кінцях області визначення.

7. На підставі проведеного дослідження будуємо графік функції.

 

Слід мати на увазі, що не завжди треба чітко виконувати вказаний план. Наприклад, не завжди ми зможемо знайти точ­ки перетину графіка з віссю ОХ (тобто нулі функції), навіть, якщо вони і існують. Інколи додатково знаходять координати деяких точок.

Приклад 1. Дослідіть функцію f(x) = х3 - 3х2 і побудуйте її графік.

Розв'язання

1. D(f)= R.

2. Знайдемо абсциси точок перетину графіка з віссю ОХ:

x3 - 3х2 = 0; х2 (х - 3) = 0; х = 0 або х = 3.

Знайдемо ординату точки перетину графіка з віссю ΟΥ:

у = 03 - 3 · 02 = 0.

3. Оскільки f(-x) = (-x)3 - 3(- х)2 = -x3 - 3х2, то функція не є парною, не є непарною. Функція неперіодична.

4. Знайдемо похідну f'(x) = 3 х 2 – 6 х = 3 х (х - 2). D(f’) = R. Знайдемо стаціонарні точки:

f'(x) = 0; 3 х (x - 2) = 0; х = 0 або х = 2.

5. Складемо таблицю:

Стаціонарні точки розбивають коор­динатну пряму на три проміжки (рис. 63):

(- ; 0), (0; 2), (2; + ). На рисунку 63 вказано знаки похідної. (Символ ä в таб­лиці означає, що

функція зростає, а символ æ означає, що функція спадає.)

6. Використовуючи результати дослі­дження, будуємо графік функції у = х3 - 3х2 (рис. 64).

Найбільше та найменше значення функції на проміжку.

Розглянемо рисунок 1, на якому зображено графіки двох функцій. Аналіз цих графіків свідчить, що найбільше і найменше значення функцій неперервних і диференційованих на проміжку [a;b] досягаються цими функціями або на кінцях відрізка, або в стаціонарних точках.

Отже, неперервна і диференційована функція на заданому відрізку приймає найбільше і найменше значення в стаціонарних точках або на кінцях відрізка.

 


СХЕМА

Знаходження найбільшого і найменшого значення

функції на проміжку:

  1. знайти значення функції на кінцях проміжку, тобто числа f(a) і f(b);
  2. знайти похідну та стаціонарні точки;
  3. знайти значення функції в тих стаціонарних точках, які належать інтервалу (a;b);
  4. із знайдених значень вибрати найбільше і найменше.

 

Приклад 1. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) = x + e-x на відрізку [-1; 2].

Розв'язання

1. Знайдемо значення функції в точках x = -1 та x = 2:

f (-1) = -1 + e l = e – l, f(2) = 2 – е -2 = 2 – .

2. Знайдемо f’(x): f'(x) = (x + е - x )1 = 1 - е-x. Знайдемо стаціонарні точки:

f '(x) = 0; 1 - е-x = 0; 1 - = 0; еx = 1; x = 0.

3. Точка x = 0 лежить на відрізку [-1; 2]

Знайдемо значення функції в точці x = 0: f(0) = 0 +е°= 1.

4. Із чисел е - 1 1,72, 2 - 1,86 та 1 найбільшим є 2 - , а найменшим -1.

Приклад 2. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку:

Розв’язання.

1. Знайдемо значення функції в точках x = -1 та x = 4:

у (-1) = 108 ∙ (-1) – (-1)4 = -108 – 1 = -109; у (4) = 108 ∙ 4 – 4 4 = 176

2. Знайдемо похідну функції і критичні точки першого роду з умови .

3. Точка x = 3 лежить на відрізку [-1; 4]

 

Знайдемо значення функції в точці х=3:

у(3) = 108 ∙ 3 – 3 4 = 243

4. Таким чином, та .

Приклад 3. Знайдіть найменше значення функції у = х+ , де х є (0; 10).

Розв'язання

Знайдемо похідну у’ =1 – = . Стаціонарні точки x1= 6, х2 = -6. На інтервалі (0; 10) є тільки одна стаціонарна точка x = 6. При переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+» , і тому x = 6 — точка мінімуму.

Отже, .

Завдання для самостійної роботи

А

1. Знайти стаціонарні точки функції:

а)

б)

в)

г)

2. Знайти екстремуми функції:

а)

б)

3. Дослідити функцію і побудувати її графік:

а) б) ; в) .

4. Знайти найбільше та найменше значення функції

а) на відрізку ;

б) на відрізку .

Б

 

1. Знайти проміжки зростання і спадання функції:

а)

б)

в)

г)

2. Вказати функцію, яка зростає на всій своїй області визначення:

а)

б)

в)

г)

3. Вказати функцію, стаціонарна точка якої є її точкою екстремуму:

а)

б)

в)

г)

4. Знайти найбільше та найменше значення функції на проміжку:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

5. Вказати функцію, яка в точці x0 має максимум:

а)

б)

в)

г)

В

1. Число 64 представити у вигляді добутку двох додатних множників так, щоб сума їхніх квадратів була мінімальною.

2. Із циліндричного поліна діаметром D вирізати балку прямокутного перерізу так, щоб площа перерізу була най більшою.

3. У півкруг радіуса R вписати прямокутник найбільшого периметру.

Довести, що з усіх рівнобічних трикутників, вписаних у заданий круг, найбільший периметр має рівносторонній трикутник.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 449; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.163.221.133 (0.034 с.)