Друга похідна, її фізичний зміст.

Дії знаходження похідних функцій називаються диференціюванням функцій і виконуються за такими правилами:

- Похідна суми певної скінченої кількості функцій дорівнює сумі похідних доданків.

- Похідна різниці двох функцій дорівнює різниці похідних зменшуваного і від’ємника.

- Похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків першої функції на похідну другої функції і другої функції на похідну першої функції.

Друга похідна та її фізичний зміст.

Нехай функція диференційована на деякому проміжку та має похідну . Якщо ця функція є диференційованою в деякій точці інтервалу , тобто має в цій точці похідну, то зазначена похідна називається другою похідною, або похідною другого порядку, та позначається

 

Приклад 1.: Знайти другу похідну слідуючих функцій:

Розв’язання:

1) Знайдемо першу похідну: .

Тепер знайдемо другу похідну

2) ;

3)

Похідна від швидкості за часом є прискорення:

механічний (фізичний) зміст похідної другого порядку.

Приклад 2. Точка рухається прямолінійно за законом . Знайти прискорення точки в момент .

Розв’язання:

Знайдемо прискорення даної точки. Для цього знайдемо похідну від шляху: .

Тепер знайдемо прискорення, для цього знайдемо другу похідну від шляху:

.

Величина прискорення являється постійною для довільного значення , отже рух точки за даним законом проходить із постійним прискоренням, тобто .

Приклад 2. Закон руху тіла знаходиться рівнянням . Яке прискорення тіла в момент, коли його швидкість дорівнює 11 м/с?

Розв’язання:

Знайдемо прискорення тіла в будь який момент часу, для цього знайдемо другу похідну від шляху:

Далі розв’яжемо рівняння і знайдемо потрібний нам момент часу: . Тепер знайдемо прискорення тіла в момент : .

 

Диференціал функції, його геометричних зміст.

Нехай функція y = f (x) має в даній точці похідну

(1)

Тоді

(2)

де а 0, якщо х 0.

Помноживши обидві частини (2) на Ах, дістанемо:

(3)

Перший з доданків лінійний відносно х і при х 0 та f'(x₀) 0 є нескінченно малою одного порядку з х, тому що:

Другий доданок - нескінченно мала вищого порядку, ніж х, тому що:

Цей доданок не є лінійним відносно х, тобто містить х в степені, вищому від одиниці.

Тоді доданок f'(x)· x називається головною частиною суми двох нескінченно малих. У даному випадку це головна частина приросту функції у і називається диференціалом функції.

Диференціал функції визначається добутком похідної на приріст незалежної змінної і позначається dy або df(x).

Отже, маємо

dy = f'(x) · x (4)

Диференціалом dy називають також диференціал першого порядку. З виразу (4) бачимо що диференціал функції є функція двох незалежних змінних х і х. Якщо y = х, то у' = х' =1, тому dy = dx· x. Тобто диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом, тобто диференціал незалежної змінної дорівнює приросту незалежної змінної.

На цій підставі для будь-якої диференційованої функції y = f (x) можемо формулу (4) записати так:

dy = f' (x) dx (5)

Останній вираз називатимемо канонічним виразом диференціала функції y = f (x). З (5) діленням на dх (dх 0), безпосередньо знаходимо:

(6)

Виходить, що похідну можна розглядати як відношення двох диференціалів. Тепер у позначенні похідної можемо надавати dy і dx самостійного значення:

Вираз (3) можемо записати ще так:

(7)

Звідки

де Якщо х 0, то й отже, і 0.

Зауважимо, що коли в точці х₀ похідна то перший доданок f формулі (3) дорівнює нулю і вже не є головною частиною приросту y. Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (5).

Геометричний зміст диференціалу зрозумілий з рисунка.

Маємо

PN = y, QN = MN tg

хf'(x) = f´(x) dx = dy.

Отже, маємо функції f (x) при заданих значеннях x₀ і х дорівнюють приросту ординати дотичної до кривої y = f (x) в точці х₀. Приріст функції у при цьому дорівнює приросту

ординати кривої. Таким чином, заміна приросту

функції на її Рис. 1

диференціал геометричне означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ. Зрозуміло, що така заміна доцільна для достатньо малих значень x.

Ітак, сформулюємо геометричний зміст диференціалу:

Диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної до графіка даної функції, коли аргумент отримує приріст .

Формули диференціювання.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Правила диференціювання:

I.

II.

III.

IV.

Ці правила легко одержати із відповідних правил для похідних. Доведемо, наприклад, два останніх: