Одинаково распределенные взаимно независимые

случайные величины.

Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин X₁, X₂,…, X_n, которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, одинаковые математические ожидания и дисперсии, т.е.

М(X₁) = М(X₂) =…= М(X_n) = μ_x

D(X₁) = D(X₂) =…= D(X_n) = .

Обозначим среднее арифметическое случайных величин как

Теорема. Математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение средней арифметической n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин есть

▼ Вычислим математическое ожидание и дисперсию

 

Пример. Дисперсия каждой из 9 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию и стандартное отклонение среднего арифметического этих величин.

▼ По условию n = 9, = 36, тогда .

 

Математическое ожидание и дисперсия числа появления событий

В n независимых испытаниях

 

I. Теорема. Математическое ожидание числа появления событий в одном испытании равно вероятности р этого события, а дисперсия - произведению pq, т.е. М(Х) = р, D(X) = pq.

▼ Пусть производится 1 испытание, в котором вероятность события А равно р. Случайная величина Х (число появления события А в одном испытании) может принимать только два значения: х₁ = 0, (событие А не наступило) с вероятностью q = 1 – p, и х₂ = 1, (событие А наступило) с вероятностью p,

Запишем закон распределения Х в виде таблицы , тогда

M(X) = 0∙q + 1∙p = p, μ = p; M(X²) = 0²∙q + 1²∙p = p,

D(X) = M(X²) - μ² = p – p² = p(1 – p) = pq.

II. Теорема. Математическое ожидание и дисперсия числа появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p есть M(X) = np, D(X) = npq.

▼ Случайная величина Х (общее число появлений события А в n испытаниях) равна сумме появлений события в отдельных испытаниях: Х = X₁+ X₂ +…+ X_n.

Величины X₁, X₂,…, X_n взаимно независимые и имеют одинаковые распределения, т.е.

М(X₁) = М(X₂) =…= М(X_n) = p

D(X₁) = D(X₂) =…= D(X_n) = pq, тогда

М(Х) = М(X₁) + М(X₂) +…+ М(X_n) = np,

D(Х) = D(X₁) + D(X₂) +…+ D(X_n) = npq,

Пример. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х (число появлений события в этих испытаниях).

▼ n = 10. p = 0,6; q = 0,4.

M(X) = np = 10∙0,6 = 6, т.е. в 10 испытаниях событие появится в среднем в 6 случаях, D(X) = npq = 10∙0,6∙0,4 = 2,4.

Следствие. Математическое ожидание и дисперсия частости m/n появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна

.

▼ Случайная величина Х = m – общее число появления события А в n независимых испытаниях. Вычислим математическое ожидание и дисперсию частости:

, .

Пример. Вероятность выигрыша по облигации за все время его действия равна 0,1. Найти математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение доли (частости) выигравших облигаций среди 19 приобретенных.

▼ n = 19. p = 0,1; q = 0,9.

.

 

Основные законы распределения ДСВ.

 

Биномиальное распределение.

Дискретная случайная величина Х, которая принимает значение m с вероятностью , называется распределенной по биномиальному закону с параметрами n, p.

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, есть: M(X) = np, D(X) = npq.

Пример. Вероятность попадания стрелком в мишень равна 0,8. Записать закон распределения случайной величины Х (числа попаданий в мишень), если стрелок сделал 20 выстрелов. Найти М(Х), D(X).

▼ n = 20. p = 0,8; q = 0,2.

P(X = m) = - закон распределения Х,

М(Х) = np= 20∙0,8 = 16 – среднее число попаданий в мишень при 20 выстрелах, D(X) = npq = 20∙0,8∙0,2 = 3,2.

 

Закон распределения Пуассона.

Дискретная случайная величина Х, которая принимает значение m с вероятностью , называется распределенной по закону Пуассона с параметром λ

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ этого закона, т.е. M(X) = λ, D(X) = λ.

Пример. Случайная величина Х распределена по закону Пуассона с параметром λ =2. Найти вероятности Р(Х = 0), Р(Х > 0).

▼ m = 0, P(X = 0) = e-2 = 0,1353; P(X > 0) = 1 – P(X ≤ 0) = 1 – P(X = 0) =

1 – 0,1353 = 0,8675.

 

Геометрическое распределение.

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, и, следовательно, вероятность его непоявления q = 1 – p. Испытания заканчиваются, как только появится событие А.

Таким образом, если событие А появилось в m – ом испытании, то в предшествующих m – 1 испытаниях оно не появилось. Пусть в первые m – 1 испытаниях событие А не наступило, а в m – ом испытании появилось, т.е.

Вероятность такой цепочки по теореме умножения вероятности независимых событий есть

Дискретная случайная величина Х, которая принимает значение m с вероятностью

,

называется геометрическим распределением с параметром р.

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение с параметром р, равна

M(X) = 1/p, D(X) = q/p², где q = 1 – p.

Пример. Из большой партии изделий контроль качества проводится до 1 – го появления бракованного изделия. В результате проверок обнаружилось, что бракованное изделие впервые появляется в среднем при десятом испытании.. Определить вероятность р брака изделия.

▼ Случайная величина Х – число испытаний до 1 – го появления бракованного изделия. По условию, среднее значение М(Х) = 10. Из выражения

M(X) = 1/p = 10 следует, что р = 1/10 = 0,1.