Числовые характеристики ДСВ.

Пусть ДСВ Х задана таблицей распределения.

Математическим ожиданием ДСВ Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности, т.е.

M(X) = x₁p₁+ x₂p₂ +… = ∑x_ip_i,

где суммирование производится по всем возможным значениям случайной величины.

Пример. Найти М(Х) случайной величины Х, заданной таблицей

 

X
p	0,3	0,1	0,6

 

▼ М(Х) = 2∙0,3 + 3∙0,1 + 5∙0,6 = 3,9.

Математическое ожидание случайной величины – это среднее ее значение и обозначается М(Х) = μ_Х.

Замечание. Если ясно, о какой случайной величине идет речь, то нижний индекс в μ_Х можно не указывать и записывать как μ.

Геометрически – математическое ожидание случайной величины – это центр распределения.

Математическое ожидание случайной величины является величиной неслучайной, постоянной.

Математическое ожидание функции g(X) определяется:

M(g(X)) = ∑g(x_i)p_i,

где суммирование производится по все возможным значениям Х.

В частности, если g(X) =Х², то M(Х²) = ∑ p_i. Например, для рассматриваемого примера M(Х²) = 2²∙0,3 + 3²∙0,1 + 5²∙0,6 = 17,7.

 

Свойства математического ожидания.

Пусть a, b – const, а Х, У – случайные величины, тогда

1. M(a) = a;

2. M(bX) = bM(X);

3. M(X + Y) = M(X) + M(Y);

4. M(XY) = M(X)M(Y), если Х, У независимы;

5. M(X – μ) = 0.

Пример. Найти M(Z), где Z = 8X – 5Y + 7, если M(X) =3. M(Y) = 2.

▼ M(Z) = M(8X – 5Y + 7) = 8M(X) – 5M(Y) + 7 = 8∙3 - 5∙2 + 7 = 21.

 

Дисперсия ДСВ.

Пусть Х – случайная величина, а μ = М(Х).

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х относительно математического ожидания, т.е.

D(X) = M(X – μ)², где μ = М(Х).

Для вычисления дисперсии часто используется другое выражение, получаемое из определения дисперсии:

D(X) = M(X²) – μ².

▼ D(X) = M(X – μ)² = M(X² - 2μX + μ²) = M(Х²) -2μМ(Х) + μ² = M(Х²) - 2μ² + μ² = M(X)² – μ².

Дисперсия ДСВ Х определяется выражением:

D(X) = ∑(x_i – μ)²p_i, или D(X) = ∑ p_i – μ².

Пример. Найти D(X) случайной величины Х, заданной таблицей

X
P	0,3	0,1	0,6

 

▼ М(Х) = 2∙0,3 + 3∙0,1 + 5∙0,6 = 3,9, μ = 3,9.

Дисперсию можно вычислить двумя способами:

1) D(X) = ∑(x_i – μ)²p_i= (2 – 3,9)²∙0,3 + (3 – 3,9)²∙0,1+ (5 – 3,9)²∙0,6 =1,89.

2) M(X)² = ∑ p_i = 2²∙0,3 + 3²∙0,1 + 5²∙0,6 = 17,1;

D(X) = ∑ p_i – μ² = 17,1 – 3,9² = 1,89.

Дисперсия является мерой рассеяния случайной величины относительно средней (центра). Размерность дисперсии не совпадает с размерностью случайной величины.

Стандартным отклонением (средним квадратическим отклонением) случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии, т.е.

.

Стандартное отклонение показывает, насколько в среднем отклоняется случайная величина Х относительно средней.

Дисперсия (стандартное отклонение) случайной величины Х является величиной неслучайной, постоянной.

 

Свойства дисперсии.

Пусть a, b – const, а Х, У – случайные величины, тогда

1. D(a) = a;

2. D(bX) = b²D(X);

3. D(X ± Y) = D(X) + D(Y), если Х, У независимы.

Докажем свойство 3.

▼ D(X ± Y) = M[(X ± Y) – (μ_x ± μ_y)] ² = M[(X - μ_x) ± (Y - μ_y)] ² = M[(X - μ_x)² + (Y - μ_y) ² ± 2(X - μ_x) (Y - μ_y)] = D(X) + D(Y) ± 2M[(X - μ_x) (Y - μ_y)].

Если Х, У – независимы, то M[(X - μ_x) (Y - μ_y)] = 0, следовательно,

D(X ± Y) = D(X) + D(Y).

Пример. Найти D(Z), где Z = 8X – 5Y + 7, если известно, что случайные величины Х, У независимы и D(X) = 1,5; D(Y) = 1.

▼ D(Z) = D(8X – 5Y + 7) = 64D(X) + 25D(Y) = 64∙1,5 + 25∙1 = 121.