Гипергеометрическое распределение.

Дискретная случайная величина X, которая принимает значение m с вероятностью

имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, M, N.

Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина Х = m – число объектов, обладающих заданным свойством среди n объектов, случайно извлеченных (без возврата) их совокупности N объектов, M из которых обладают этим свойством.

Замечание. В Excel имеется функция Р(X=m) = ГИПЕРГЕОМ(m;n;M;N).

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами n, M, N есть

.

Пример. Имеется N = 10 изделий, из них М = 5 бракованных. Для контроля качества из них отбирают n = 4 изделий, Х – число бракованных изделий среди выбранных. Составить закон распределения Х. Найти вероятность обнаружить брак.

▼ - закон распределения.

Вероятность обнаружить брак

.

 

Функция распределения случайной величины.

 

Универсальным способом задания случайной величины Х является задание ее функции распределения.

Пусть х – действительное число.

Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е.

.

Геометрический смысл F(x) – вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения.

Свойства функции распределения.

1) при любых ;

2) P(x₁ X x₂) = F(x₂) – F(x₁);

3) F(x) – неубывающая функция;

4) .

Функция распределения используется для задания как непрерывной так и дискретной случайной величины.

Для дискретной случайной величины Х, которая принимает значения

х₁,х₂,…,х_n, функция распределения имеет вид

,

где суммирование распространяется на все индексы i, для которых х_i < x.

Пример. Дискретная случайная величина Х задана таблицей

X
p	0,3	0,2	0,5

Найти функцию распределения и построить ее график.

▼ если х ≤ 1, то F(x) = 0; если 1 < x ≤ 4, то F(x) = 0.3;

если 4 < x ≤ 8, то F(x) = 0.5; если x > 8, то F(x) = 1.

 

 

Непрерывные случайные величины.

 

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме быть может, отдельных точек.

Вместо функции распределения F(x) для непрерывной случайной величины обычно используется плотность распределения вероятностей f(x).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется производная от функции распределения, т.е.

f(x) = F¢(x).

Плотность распределения иногда называют дифференциальной функцией.

Из определения производной вытекает вероятностный смысл плотности распределения:

,

т.е. предел отношения вероятности попадания случайной величины X в интервал к длине этого интервала при равен значению плотности распределения вероятностей f(x).

Из определения плотности распределения следует, что функция распределения F(x) является первообразной для плотности распределения f(x).

 

Свойства плотности распределения:

1) f(x) 0 при любых x Î R

2)

3)

4)

Геометрически функция распределения F(x) равна площади под кривой распределения f(x), лежащей левее точки х.

Таким образом, зная плотность распределения f(x), можно найти ее функцию распределения по формуле , и наоборот, по известной функции распределения F(x) можно найти плотность распределения по формуле f(x) = F¢(x).

Пример. Найти плотность распределения по известной функции распределения

▼ = .

Пример. Найти функцию распределения по заданной плотности распределения

f(x) = .

▼ Используем формулу .

Если х ≤ 1, то f(x) = 0, следовательно, F(x) = 0. Если 1 < x ≤ 2, то

f(x) = x – ½, .

Если х > 2, то f(x) = 0,

= , следовательно, F (x) = .