Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Методы конечных разностей для численного решение дифференциальных уравнений с частными производными
Решение дифференциальных уравнений с частными производными (ДУЧП) в аналитическом виде удается только в самых простых случаях. Поэтому становятся особенно важными численные (приближенные) методы решения этих уравнений. Далее будем рассматривать только линейные ДУЧП. Наиболее широко распространенным и простым методом численного решения линейных ДУЧП является метод сеток или метод конечных разностей, поэтому основной упор сделан на пояснение и описание этого метода. В общем случае ДУЧП для функции u двух аргументов имеет вид:
, (28)
где x, у – независимые переменные, u(x,y) – искомая функция, ux, uy, uxx, uxy, uyy – её первые и вторые частные производные по аргументам x и y. Решением уравнения (28) называется функция и= u(х, у), обращающая это уравнение в тождество. График решения представляет собой поверхность в пространстве Охуu (интегральная поверхность). Уравнение (28) называется вполне линейным, если оно первой степени относительно искомой функции и всех ее производных и не содержит их произведений, т. е. если это уравнение может быть записано в виде
, (29) причем коэффициенты А, В, С, а, b, с могут зависеть лишь от х и у. В частном случае, если эти коэффициенты не зависят от х и у, то уравнение (29) будет линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Подробнее рассмотрим линейное дифференциальное уравнения (29). Пусть D=АС-В2 – дискриминант уравнения. В зависимости от знака функции D линейное дифференциальное уравнение (29) относится в заданной области к одному из следующих типов: D > 0 – эллиптический тип; D = 0 – параболический тип; D < 0 – гиперболический тип; D не сохраняет постоянного знака – смешанный тип. Тип линейного уравнения (2) является его важной особенностью и сохраняется при любом невырожденном преобразовании Температура и=и(х, у) точки (х, у) пластинки при стационарном распределении (т. е. при распределении, не зависящем от времени) и отсутствии источников тепла удовлетворяет уравнению Лапласа.
. (30)
Здесь А=1, В=0, С=1 и D=AС–В2 > 0, т. е. уравнение (30) эллиптического типа. Температура и=и(х, t) точки однородного тонкого стержня с абсциссой х для каждого момента времени t удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводности
, (31)
где а – постоянная, зависящая от физических свойств стержня, и F(х, y) –функция, связанная с плотностью источников распределения тепла. Если в стержне отсутствуют источники тепла, то уравнение теплопроводности имеет вид
. (32)
Очевидно, что уравнения теплопроводности (31) и (32) – параболического типа. Функция и=и(х, t) с абсциссой х для каждого момента времени t удовлетворяет уравнениям
или (33)
Эти уравнения (33) относятся к гиперболическому типу. ДУЧП имеет в общем случае бесчисленное множество решений. Поэтому, если физический процесс описывается с помощью уравнения с частными производными, то для однозначной характеристики этого процесса нужно к уравнению присоединить какие-то дополнительные условия. Эти дополнительные данные в простейшем случае состоят из начальных и краевых (граничных) условий. В сущности, различить эти условия можно лишь в том случае, если одна из независимых переменных дифференциального уравнения играет роль времени, а другая — пространственной координаты (для случая двух независимых переменных). При этом условия, относящиеся к начальному моменту времени, называются начальными, а условия, относящиеся к фиксированным значениям координат (обычно это координаты граничных точек рассматриваемого линейного континуума) – краевыми. Пусть имеется теплоизолированный (кроме, может быть, концов) однородный нагретый стержень 0 ≤ x ≤ l, где l - длина стержня. Температура стержня u=u(х,t) в точке х (0 <х</) для любого момента времени t удовлетворяет уравнению теплопроводности
(34)
где а – постоянная. В начальный момент t=to для внутренних точек стержня обычно задается начальное распределение температуры. Это приводит к начальному условию
.(35)
При 0<х<l, где f(x) –известная функция. Условие (35) не обеспечивает однозначности решения дифференциального уравнения (34), так как физически ясно, что распределение температуры u(х,t) в стержне для последующих моментов времени t>to существенно зависит от того, в каком состоянии находятся концы стержня x=0 и х=l (есть ли там утечка тепла, каков тепловой режим и т. п.).
В зависимости от состояния конца x=0 имеем следующие, основные краевые условия. 1. Конец стержня х=0 поддерживается при заданной температуре
, (36)
где φ (t) –известная функция. В частности, если эта температура равна нулю, то краевое условие будет u(0, t)=0.
2. Конец стержня х=0 теплоизолирован, т. е. утечка тепла в окружающую среду отсутствует: . (37)
3. На конце стержня х=0 происходит лучеиспускание тепла в окружающую среду, температура которой меняется по заданному закону
, (38)
где α – постоянная и φ (t) – известная функция. В частности, если температура внешней среды равна нулю, то получим
. (39)
Смешанное краевое условие (38) в некотором смысле можно считать общим, а именно, полагая α= 0, получим краевое условие (36), а при α =∞ будем иметь краевое условие (37). Возможны и другие типы краевых условии. Аналогичные краевые условия могут быть также для конца х=l. Комбинируя краевые условия для концов х=0 и х=l, будем иметь краевые задачи для стержня, которые при наличии начального условия (35), вообще говоря, имеют единственные решения.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 225; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.224.64.226 (0.009 с.) |