Логическое строение школьного курса геометрии.

Характерной особенностью самого курса геометрии явл-ся аксиоматиче­ский м-д построения курса, суть кот. заключается в следующем:

1) выбирается система основных неоп­ределяемых понятий для к-рых уста­навливаются основные отношения. Действующие шк.уч-ки Погорелова и Атанасяна, Александрова имеют также в своей основе различные системы основных понятий. В учебнике Погорелова точка, прямая, пл-ть, (понятие фигуры не включено в число осн. понятий в то же время не опред-ся). В учебнике Атанасяна осн. понятиями явл-ся точка, прямая, пл-ть и наложение. В учебнике Александрова: точка, отрезок, фигура, пл-ть.

2) Рассматривается система аксиом (т.е. предположений принимаемых без до­каз-ва в)устанавливающих основные свойства основных понятий и отноше­ний. Система аксиом должна удовле­творять ряду определенных требова­ний: полнота, независимость, непроти­воречивость.

а) непртиворечивость,т.е. из выбраной сис-мы аксиом нельзя вывести 2 противор-их друг другу утвержд-ия; б)независ-ть, т.е. не одна из выбрааных аксиом не явл-ся логич-м следствием других аксиом; в) полнота,выбранная сис-ма аксиом позвол-т док-ть и опровергнуть любое утвержд-ие рассм-ое в рамках дан. теории

3) Определение всех основных понятий теории и док-ва всех остальных утвер­ждений. Построить строго аксиомати­ческий курс школьной геометрии неце­лесообразно, поскольку этот курс по­луч-ся достаточно объемным и доста­точно сложным для учащихся, поэтому аксиоматически курс выстраивается только по основному «стволу».

При этом в методике сущест-ет 2 точки зрения на аксиоматическое изложения курса (это касается планиметрии).

1. Надо начинать с аксиоматики и по возможности рассматривать ее доста­точно полно, т.о. построен курс учеб­ников Погорелова. 2. Завершать по­строение курса полным изложением аксиоматики – учеб-к Атанасян.

Реализация 1-го подхода связана с тем, что в настоящий момент геометрия уже построена как аксиоматическая теория. 2-ая тенденция исходит из историче­ского пути развития, когда сначала число накопления геометрических фактов, а потом они уже обобщались в строгую теорию. При изучении аксиоматики большое внимание д/о уделяться наглядным представлениям учащихся, поскольку аксиомы в 1-ую очередь базируются на достаточно очевидных фактах. Храктерной особенностью аксиоматики Погорелова явл-ся компактность аксиом. В учебнике Атанасяна полная система аксиом дается в приложении к курсу геометрии, а непосредственно на уроках рассматрив-ся только отдельные аксиомы. Курс стереометрии всегда начинается с изучения аксиоматики, при этом одной из особенностью курса явл-ся то, что при доказ-ве первых теорем проводится четкая ссылка на соответствующие аксиомы. В старших классах это становится уже вполне возможным, т.к. у учащ-ся уже накоплен достаточно большой опыт по проведению доказ-в теорем.

Аксиоматики: 1. Евклида 2. Вейля (точка, вектор) 3. Гилберта (по этому построен учеб-к Колмогорова). Была попытка создания учеб-ка по аксиоматике Вейля, но остался только как экспериментальный учебник.

 

включ-х tg и ctg неоходимо учитывать уже обл.опред. соотв-х фун-й. Т.к. и tg и ctg определены не для всех значений x.Реш-ие иррац-х ур-ий в шк. курсе рассм-ся только на конкр-х примерах и даётся основной способ реш-ий:возведение левоц и правой части ур-ия в квадрат. Но при рассм-ии примеров выд-ся один из типов рац-х ур-ий, а именно ур-ия вида

данное ур-ие равносильно системе:

x-2 = (x-8)² и x-8 ³ 0 Значение арифмет-го корня явл-ся числом неотриц-м. При реш-ии иррац-х ур-й обращ-ся внимание на необходимость выполнения проверки. Иррац-ые нер-ва в шк. курсе осн.школы практически не рассм-ся. Реш-ие показ-х и логарифмич-х нер-тв рассм-ся только на конкр-х примерах. Основные типы показ-х и логарифмич-х ур-ий также рассм-ся на кокр-х примерах (ур-ич,сводящ-ся к реш-ию квадр-х ур-ий). При реш-ии показ-х ур-ий в том случае, если мы вводим замену переменной a^x=t, необходимо, чтобы уч-ся чётко помнили какие значения может принимать t,t>0.Это огранич-ие обязат-но должно фигурировать в реш-ии. При реш-ии логарифм-х ур-ий и нер-тв необходимо учитывать обл.определения логарифмич-й фун-ии, кот. явл-ся множ-во полож-х чисел. При этом при реш-ии ур-ий уч-ся могут делать проверку. А при реш-ии нер-тв необходимо опред-ть саму обл-ть. В заключении курса алгебры и начала анализа уч-ся в ознакомит-ом плане рассм-т простейшие диф. ур-ия.