Задачи в обучении математике.

Специфика предмета такова, что большая часть уч-го времени отвод-ся на реш-ие задач. Это вызвано особен-ю самой мат-ки, в кот. осн-ое внимание удел-ся реш-ию тех или иных задач.В общем случае даже теорию можно рассм-ть как задачи. В пр-се обуч-ия задачи выпол-т след-ие фун-ии:1)дидактич-е 2)развивающие 3)воспит-ие 4)контролир-е

Задачи рассм-ся в качестве подготовки введения нового материала. Особенно в пропедевтическом курсе и курсе алгебры, введение больш-ва новых понятий предшеств-т рассм-ие конкр-х задач. Напр-р,введению понятия лин-ая фун-ия предшеств-т рассм-ие 2-х конкр-х задач,в пр-се решения кот-х уч-ся приходят к завис-ти опред-го вида, кот. в дальнейшем и наз-ся лин-ой фун-ей. В курсе алгебры и нач.анализа введению производн.фун-ии предшеств-т рассм-ие 2-хзадач:задача о мгновенной скорости и задача о касат-ой к кривой в задан. точке.И опред-ие понятия производной вводится как обобщение этих 2-х задач,решаемых по одному и томуже алгоритму.В пр-се реш-ия задач отрабатыв-ся мат-ие факты, их понятия и их св-ва.Формир-ся умение использ-ть те или иные мат-ие методы или алгоритмы действий.Сис-ма упр-ий и задач, формир-их матем-ие понятия должна удовлетворять определ-м требованиям: 1) в неё должны входить задачи, актуализирующие знания уч-ся и подготавл-щие к введению новых понятий; 2)задание,формир-ее само понятие (т.е.задачи в пр-се выпол-ия кот.уч-ся отрабат-т харак-ые св-ва понятия и выясняют подводится ли рассм-ый объект под дан.понятие или нет).Напр-р, опред.понятия чётности фун-ии:ф-ия наз-ся чётной, если 1) x, -xÎD(y); 2)f(-x)=f(x);

3) упр-ия на отработку мат-ой символики;4) задания на формир-ие св-тв понятия (график чётной фун-ии симметр-н относит-но oy,гр-к нечётной симметр. Относит.начала коорд-т)

Достройте график фун-ии,если фун-ия чётн. и если нечётн.5) прикладные практич-ие задания, связан-ые с изуч-мым понятием.6) задания,связан-ые с формир-ем алгоритмов действий,содер-ся в сист-ме упр-ий там,где изуч-ые правила формир-ся в виде некоторого алгоритм-го предписания.Напр-р,1-деление десятичной дроби на десятичную, переносим знак в делителе и делимом,делим натур-ые числа; 2-решить квадратное ур-ие 2x²-7x+4=0.Сравнить обл. определ.с нулём и узнать имеет реш-ие ур-ие или нет и найти корни, если они есть.7) задачи на отработку методов.Задачи в пр-се обуч-ия мат-ке вып-ют ещё одну контролирующую фун-ию.Специфика предмета такова, чтопроверка уровня обученности происходит в пр-се реш-ия задач:контрольные работы, экзамены.Стандарт мат-го образ-ия также представляет собой банк задач.Задачи по мат-ке выпол-ют развив-щую фун-ию,особенно это касается текстовых задач в пропедевтическом курсе мат-ки.Т.к.в пр-се реш-ия таких задач уч-ся обучаются умению логических рассуждений.Задачи, связан-ые с отысканием ошибки в рассуждения (нестандартные задачи).Мат задачи форм-т пр-ое вообр-ие уч-ся.Воспитательная фун-ия задач:формир-ие интереса к мат-ке (занимат-ые, нестандартные), формир-ие критичности мышления (неск-ко вариантов реш-ия задач и выбирается более рацион-ый способ),формир-ие аккуратности,воспит-т терпение и усидчивость.

Особую роль играют текстовые задачи в процессе обуч. мат-ки. т.к при их решении на простейших примерах уч-ся обуч-ся мат. моделированию, котррый сост. из след-х этапов: 1)перевести задачу на мат. язык; состав. ур-ие, сист, нер-во; 2)внутримодельное решение 3)интерпретация решения.Большое знач-е играет проверка результата.

 

6. Углубленное изучение мат-ки: содержание, приёмы и формы организации обучения.

Проблеме углубл-го изуч-ия мат-ки в ср. школе уделяется очень большое внимание. Это связано в 1-ую очередь с необход-ю достаточно высокой подготовки уч-ся для поступления в ВУЗы, формир-ие интереса уч-ся к предмету и развит.их мат-их способностей. В наст-ее время углубленным ихучением мат-ки в шк.заним-ся в 1-ую очередь мат-ке (физико-мат.) классы.Первые мат. классы стали создав-ся в 60-е годы при наиболее крупных университетах:Московс-м, Ленинград-м,Новосибирском и во многих др. ведущих ВУЗах страны(МФИ,МХИ). Уч-ся в этих мат. классах занимались по спец. приёмам, разработ-ые ведущ-и преподав-ми.Основной целью явл-ся подготовка уч-ся длч поступления в эти ВУЗы. В 80-е годы стало осущ-ся массовое распростр-ие мат.классов и школ. При этом можно выделить 2 типа мат.кл. и школ:1) классы,кот.создавались при ВУЗах; 2) классы, кот.формир-сь в общеобраз-х шк-х непосредственно.Классы, кот.организовались при ВУЗах обучались по прогр-ам, разраб-м в этих ВУЗах. Классы, кот.работали а общеобразов-х шк-х занимались по гос. прогр-ме по мат.кл. Официально прогр-ма для мат.кл.начин-ся с 8 кл.Прогр-ма по мат-ке для мат.кл.-это спец-ая прогр-ма, кот. предполаг-т расширение содержания по мат-ке в этих кл.,так и углубление изучаемых тем.Напр-р,расширение осущ-ся за счёт вопросов не вклю-х в прогр-му для общеобраз-х школ (комплексные числа,эл-ты комбинаторики,теория пределов, неопред.интеграл).Углубл-ие осущ-ся за счёт подробного изучения отдельных вопросов (исследование ф-ии с пом-ю производной,в старших кл.предполаг.использ.2-й производной, тема-декартовая сис-ма коорд.-знакомство с канон-м урав-м гиперболы,параболы,элиппса). В мат.кл.на изуч-ие мат-ки отвод-ся больше часов, чем в общеобраз.шк.Обучение в мат.кл.предполагает работу по спец.учебникам(Виленкин «Алгебра и мат.анализ 10-11», уч-к геометрии Александрова, дополн-ые главы к уч-м Макарычева и Атанасяня, задачник Галицкого). Спецификой обучения в мат.кл.явл-ся значит-е усиление самост.работы уч-ся, обучающ-ся в этих кл-х.Значит-но повыш-ся уровень сложности решаемых задач. Экзаменац-ые работы в мат.кл.провод-ся по спец-м текстам,отлич-ся от текстов общеобр-х школ. Наиболее значимый вклад в создание и развитие мат.кл.в нашей страна внёт академик Колмагоров,кот.создал физ.-мат. школу при МГУ. Рассм-м формы организ-ии обуч-ия в мат.кл

Факультативные занятия. Основн-ая цель факультат-х занятий-развитие интересов и способностей уч-ся и подготовка их дальнейшего обучения в ВУЗах. Факульт-е курсы начин-ся с 7 кл. и явл-ся курсами по выбору уч-ся.Факул-ые занятия провод-ся 1 в неделю(1 или 2 ч.). Фак-ые зан-ия могут провод-ся по спец-но разраб-м прогр-м или по авторской прогр-ме учителя. В период введения фак-ых занятий в школе они преследовали ещё одну цель:апробацию новых тем, вкл-х в шк-ую прогр-му по мат-ке. Так первонач-но на фак-х зан-х рассм-сь такие темы как эл-ты теории множеств, преобраз-ие фигур на пл-ти и в простр-ве, изуч-ие мат-го анализа в средн.школе. В наст-ее время фак-ые занятия посвящены подготовке уч-ся в ВУЗы.

Внеклассная раб-та по мат-ке. Главной задачей внекл. работы по мат-ке явл. формир-е интереса к учащ-ся к предмету. Формы провед.внекл. раб-ты очень разнообразн.:недели мат-ки,мат. газеты, кружки, вечера, конкурсы, викторины, олимпиады

 

 

7.Методика изучения числовых систем в шк.курсе математики. Цель.

Изуч-ие числ-х сис-м нач-ся в нач.шк.,где уч-ся знак-ся с натур-ми числами и 0.В 5-6 кл. изуч. Большинство числовых сис-м,рассмстр-х в школе. Чтобы построить числов сис-му мы должны ввести эл-ты этой сис-мы, определить основн. операции (сложение,умножение,вычитание,деление) и установить отношения <,>. В 5 кл. изуч. числов-х сис-м начин-ся с системат-ии сведений о натур-х ч.и о нуле.Опред-е понятия натур-го ч. в шк. курсе не рассм-ся,т.к.явл-ся дост-но сложным(N-ые ч.можно определить на основе аксиом Пеано).В шк. курсе N-ые ч.-это числа,использ-ие для счёта предметов.В 5 кл. рассм-ся цифры,с помощью кот.запис-ся N-е ч. и классы(разряды), знакомятся с многозначными N-ми ч. Основн.внимание при этом удел-ся умению правильно прочитать дан.N-ое ч. или записать.Рассм-ся сравнение N-х чисел(сравн-ся по разрядно начиная с наивысших разрядов).В теме “N-ые числа” уч-ся рассм-т коорд-й луч, кот.в дальнейшем использ-ся при изуч-ии действий над N-ми ч.Изуч. опер-й нач-ся с опер-ии сложения.(при введ-ии ввод-ся компоненты опер-ии-слагаемые,сумма).Поясн-ся на конкр-ом примере:т.е.для того,чтобы сложить числа 5 и 3 надо к 5 прибавить 3 раза 1-цу (5+3=5+1+1+1=6+1+1=7+1=8).Рассм-ся св-ва опер-ии сложения-перемест-й,сочет-й з-н.Все св-ва рассм-ся на конкр-х примерах,но в дальнейшем они запис-ся в общем виде после изуч-ия темы «Числ. и букв. выр-ия».Опред-ся также вычитание N-х ч.Действие, с помощью кот. по сумме и одному из слагаемых находят др.слагаемое наз-ся вычитанием.Т.е.опер-ия вычитание опред-ся через опер-ию сложения.С уч-ся рассм-т св-ва вычитания:суммы из числа и числа из суммы.Опер-ия умножения N-х ч. также опред-ся с пом-ю опер-ии слож-я.(m*n-это значит найти сумму n слагаемых, каждое из кот-х равно m).Также ввод-ся компонент действия,рассм.перемест. или сочет. св-во.Деление опред-ся как действие, с пом-ю кот.по произвед-ю и одному из сомножителей находят др. сомножитель.Омеч-т,что частное показ-т во сколько раз делимое > делителя (разность показ-т на ск-ко уменьшаемое > вычитаемого).Отметим св-во,что ни одно число нельзя делить на 0.И спец.выдел-ся особые случаи:при делении числа на 1-цу получ-ся тоже самое число,при делении на то же самое число получ-ся 1-ца,при делении 0 на число,отличное от 0=0.Изуч.N-х ч. в 5 кл. рассм.дел-ие с остатком.Особое внимание удел-ся порядку выполнения действий. Изуч-ся понятие квадрата и куба числа.Эти понятия рассм-ся на конкр-х примерах,после чего ввод-ся соотв.опред-я.На этом изуч. N-х ч.заканч-ся.Далее переходят к изуч-ю дробных чисел.При этом в мат-ке сущ-т 2 подхода к изуч.дробных чисел: 1) первон-но изуч.десятичн-е дроби; 2)первоноч-но изуч-чя обыкн-е дроби (только в уч.Дорофеева). Более ранее изуч. десят-х дробей объясн-ся тем,что алгоритм действ.с десят-ми дробями почти такой же,что, как с N-ми ч-ми.Добавл-ся только ещё один шаг постановка «,».И запись десят-х дробей аналог.записи N-х ч.В нач. шк. уч-ся знакм-ся с понят-м доли и дроби.В 5 кл. они повтор-т ранее изуч-ый матер-л,при этом отмеч-ся,что запись вида 3/5 наз-ся обыкновен.дробью.Рассм-ся, что показ-т знаменатель и что числитель.При сравнении дробей рассм-ся коорд-й луч и отмеч-ся,что на коорд.луче равные дроби соотв. одной и той же точке, а следоват-но 2 равные дроби обозн-т одно и тоже число(2/4=1/2).Ввод-ся сравн-ие дробей с одинак-м знамен-м,а также понятие прав. и неправ-й дроби.Рассм-ся сложения и вычитание дробей с один.знаменат.Устанавл-ся взаимосвязь между делением и дробями.Ввод-ся понятие смешанного числа и рассм-ся + и – смешан-х чисел и только после этого переходят к изуч-ю десятич-х дробей. Изуч.дсятичн.дробей начин-ся с рассм-ия записи десят-х дробей,после чего вводят сравнение десят-х дробей,при этом отмеч-ся,ято десят.дроби могут изображ-ся так же ка обыкновенные на коорд.луче и делители дроби можно сравнивать как N-ые ч. или с помощ-ю коорд-го луча. В 6 кл. изуч. обыкновен. дроби, положит. и отрицат. числа.Изуч. обыкнов-х дробей нач-ся с рассм-ия вопроса делимости чисел.Изуч-т.сокращ-ие дробей и приведен-е к общ. знаменателю. Эти опер-ии дают основу для введения опер-ии сравнения, +ия,вычитания,деления обыкн.дробей с разными знамен-ми. Весь матер-л изуч. на конкр-х примерах и при рассм-ии каждого из действий формулир-ся алгорит-ие правила выполнения того или иного действия.Отдельно рассм-ся вопрос о нахожд-ии дроби от числа. После рассм-ия опер-ии умнож.обыкн. дробей вводят понятие взаимно обратных чисел, кот.даётся с опред-ем. Наиболее сложным при изучении этого матер-а явл-ся

8.Методика изучения матем-их выражений и тождественных преобразований. Цель.

С простейшими тождеств-ми преобраз-ми уч-ся знаком-ся ещё в нач. школе, когда изучают законы (св-ва операций сложения и умножения), выполняют простейшие упрощения выраж-ия. Системат-ое изуч-ие тожд-ых преобраз-ий нач-ся в курсе алгебры 7 кл.Тождество- рав-во верное при люб.(7кл) допустимых(8кл) знач-х. Уч-ся систематизируют имеющ-ся у них сведения о числовых выраж-ях, выраж-х с переменной, вводят новые понятия-понятие тождества и тожд-х равных выражений. В 7 кл. основные тожд-ые преобраз-ия связаны с операциями над многочленами (сложение, умножение многочленов, раскрытие и заключение в скобки).Много внимания удел-ся формулам сокращ-го умножения. Этот материал явл-ся базисным для дальнейшего изучения преобраз. выраж-й, поэтому у уч-ся должны быть сформированы прочные умения выполнять преоб-ие множ-тв с использованием формул сокращ-го умножения в задания различной степени сложности. В 8 кл.изуч. тожд-х преоб-ий в 1-ую очередь связано с рассм-ем рац. дробей и их св-тв. Ввод-ся понятие допустимых значений перемен-х. Эти значения опред-ся как те же значения перемен-х, при которых выраж-ие имеет смысл. Ещё раз даётся опред-ие понятия тождества. Изуч. алгебр-х дробей происходит на достаточно высоком теоретич-ом уровне. В общем виде док-ся основное св-во дроби и рассм-ся операции сложения, умножения, вычитание и деление алгебр-х дробей. Изуч.тожд-х преобраз-ий связано с рассм-ем арифмит-го квадратного корня и его св-тв. Следует отметить, что при изуч. квадратного корня ввод. 2 понятия:квадр. корня из числа a и арифмитич-го квадр-го корня из числа a. Оба эти понятия определены, но в явном виде выделено опред-ие арифмитич.квадр. корня. Устанавливают из опред-ия арифмит. квадр. корня св-ва арифмитич-х квадр. корней В 7 же кл. уч-ся изучают степень с целым показателем. Это изуч. начин-ся с опред-ия понятия степени с целым отрицат-м показ-м. Изуч. степени с натуральным показателем также рассм-ся в 7 кл, хотя первонач-ые сведения о степени (2-ой и 3-ей) уч-ся получают в 5 кл. При изуч. степени с натур-м показ-м уч-ся знаком-ся не только с опред-ем самого понятия, но в общем виде изуч. и св-ва с доказ-ми. При изуч. степени с целым показателем ещё раз формулир-ся сами св-ва, но доказ-ся не все, а в качестве примера одно из них. Большое внимание удел-ся формир-ию вычислений степени с помощью микрокалькулятора. Продолжение тожд-х преоб-ий осущ-ся в 9 кл. Следует отметить, что в 9 кл. ещё раз возвращ-ся к преобраз-ю многочлена, а именно разложение квадр-го 3-х члена на множители и док-ся фомула ax²+bx+с=a(x-x₁)(x-x₂). При этом в необязат-м материале док-ся, что если квадр-ый 3-х член не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители. В 9 кл. изуч-т и степень с рац-м показат-м, при этом первоначально рассм-т корень n‑ой степени. Также в изуч. корня квадр-го выделяют оба опред-ия: понятие корня n-ой степени из числа a и арифметич. Корня n-ой степени из числа a. Также изуч. св-ва корня n-ой степени достаточно подробно, привод-ся док-во некоторых св-тв. После чего переходят к опред. степени с рац-м показат-м. Степень с рац-м показ-м опред-ся только для положит-го числа, поскольку для отрицат-х оснований степень с дробным показателем не рассм-ся. Также формулир-ся теоремы, устанавл-ие св-ва степени с рац-м показ-м. При этом во всех теоремах наклад-ся ограничения на переменные a и b, которые должны быть полож-ми.В старших кл. изуч. степень с действит-м показат-м. Там только отмечается,что можно рассм-ть степень с действит-м показ-м и для неё будут выпол-ся основн. св-ва степени. Особую группу преобраз-й представляют собой тригонометрич-ие преобр-ия. Уч-ся опред-т понятия sin, cos,tg,ctg первоначально для некоторого угла a. Опред-ие даётся на основе отношения соотв-х коорд-т радиус-вектору заданной окр-ти или отношение соотв-х коорд-т друг другу. Док-ся все основные тригоном-ие формулы, а также фомулы приведения, сложения и их следствия. Наиболее сложными явл-ся формулы сложения, поскольку при их выводе использ-ся скалярное произвед-е векторов. В старших кл. также изуч. преобраз-ие функции: правило вычисления производных, вывод которых опир-ся на использование понятия предела. Также уч-ся рассм-т опред. логарифма числа и его св-ва. При рассм-ии логарифма числа log _a x = b также наклад-ся огранич-ия a>0,a не=0, logx>0.

 

нахождением общ. знаменателя некс-их дробей. В 6 кл. изуч. такая важная тема, как отношение и пропорции. Понятие отношения опред-ся как частное от деления 2-х чисел и показ-т во ск-ко раз одно число < или > 2-го или какую часть 1-ое число составляет от 2-го.Пропорция опред-ся как рав-во 2-х отношений. Ввод-ся понятие крайних и средн.членов пропорции. На конкр-х примерах выявл-ся в-во пропорции:произведение крайних членов = произведению средних членов. Даются опред-ия прямопропорц-х величин и обратнопропорц-х величин.Последней числовой сис-ой, изуч-ой в 6 кл. явл-ся рац-ые числа, где уч-ся знаком-ся с полож. и отрицат.числами Рассм-ие любого числа сис-мы наиболее часто связ-ся с невыполнением в дан-й сис-ме некот-й алгебр. операции.Так незамкнуость операции вычитания на мн-ве N-х ч. приводит к расшир-ю этого мн-ва до мн-ва Z-х чисел. Невыполнимость операции деления приводит к расшир-ю до мн-ва рац-х чисел. Введение понятия отриц. числа связано с рассм-м измен-я величины.В шк. курсе рассм-ся изменение t-ры. Изуч. всех действий над полож. и отриц. числами происходит только на конкр-х примерах и правила формулир-ся в алгоритм-ом виде.После этого ввод-ся понятие рац-го числа (это число которое можно представить в виде m/n, где mÎZ, nÎN).Отмеч-ся,что каждое Z-е число явл. рац-м числом и рассм. представл-ие рац-х чисел в виде десятичн-х переодич-х дробей.Устанавл-ся св-во действия рац-х чисел.Дальнейшее расшире-ие числовых сис-м происходит только в 8 кл.В теме квадр.корни уч-ся знаком-ся с действ-ми числами. Введению действ-х ч. предшеств-т систематизация знаний уч-ся о рац-х числах.Ввод. мн-во рац-х, даются спец. обозн-я числовых множ-тв. Ещё раз устанавл-ся взаимно однозначное соотв-ие между рац-ми ч. и бесконечн.десятичн. переод.дробями. Мотивировка расшир-ия мн-ва рац.ч. до мн-ва действ-х ч.в разных уч-ах различна.1) геометр.подход мотивировки расшир.рац.ч.(рассм.квадрат со стороной 1 и док-ся,что диагональ=Ö2 не может быть выражена рац-м числом, а Þ сущ-т числа не рац-ые- иррац.).2) поскольку между мн-ом рац.ч. и ¥ десятичн.переод.дробями установлено вз. однозначное соотв.,то сущ-т ¥ непереод. десятичн. дроби,свидетельст-е о сущ-ии чисел не явл-ся рац-ми (0,101001000…).Мн-во рац-х и иррац. ч.образ-т мн-во действит-х ч.Также отмеч-ся,что сравнение действит-х чисел,записан-х с пом-ю ¥ десят.дробей осущ-ся по тем же правилам, что и сравнение конечных десят-х дробей. Омеч-ся, что действ-е ч. можно складывать, вычетать, умножать и делить(кроме: на 0). Причём действия над действит-ми числами обладают теми же самыми св-ми, что и над рац-ми. В практич-х задачах действия с действ-ми числами часто заменяют действиями с приближен. числами.

Наряду с рассмотр-ем основню числ. сис-мы рассмотр. и такие понят. как степень числа(с нат. целыми, рац. и действ. показателем), вводятся понят арифм.квадратн. корня, а также корня n-ой степени; опред. тригоном. знач. числа, ввод. опред. логарифма числа, св-во степени логарифма для чисел, св-во степени логарифма для чисел.

Тема комп-ые числа не явл.обязат-ой в школе (изуч. только в мат.классах).Однако в уч-ке Алимова рассм-ся комп-ые числа (действия над ними, их геометр. интерпретации, в старших классах тригонометр. форма комп-го числа).Сравнение не сущ-т.