Производная и интеграл в шк. курсе матем..

Производной ф-и y=f(x) наз. предел отн-я приращ. ф-и в зад. (.) к прир. аргум., когда последний →0.

Физ. смысл: произв. показ. скор. измен. ф-и в зад. (.).

Геом. смысл: произв. в зад. (.) = tg угла наклона касат., провед. к граф. ф-и в зад. (.)-ке, с «+» напр-ем ОХ.

В шк. учеб-х м. реализ. разные подходы к опред. понятия произв.:

1. Исходя из её физ. смысла (на основе з-чи о скорости). 2. Из её геом. смысла (на осн. з-чи о касат.). 3. Формальный подход (как обощение разл. з-ч, приводящих к пределу одного вида).

В шк. учеб. Колмогорова реализ. 3-й подход, при этом термин «предел» в определении не исп., что неск-ко услож. понятие произв.. Понятие предела в шк. курсе вспомогат., и формулир-ся, чтобы ввести понятие произв-й и непрер-ти.

Осн. целью изуч. произв. в шк. явл. знакомство уч-ся с использ-м произв-й для исслед-я ф-и. Поэтому у уч-ся д.б. сформир. навыки вычисления произв-х ф-и, для чего рассм. осн-е правила нах-я произв-х.

Уч-ся рассм. необх. и дост. усл-я сущ-я max (min) ф-и. НЕОБХ.: f΄(x₀)=0. Если х₀ явл. (.) max (min), то f΄(x₀)=0 явл. недостаточным, чтобы продемонстр. это.(Пример: y=x³, x₀=0. f΄(x₀)=0 – но не явл. (.) экстр.). ДОСТАТ.: смена знака произв-й при прох. ч/з критич. (.)ки (точка наз. критич-й, если произв. в ней =0 или не сущ.)

Достат. условие на промежутке – постоянство знака ф-и на этом пром-ке. Важно, чтобы дети понимали, что ф-я на рамм-м пром-ке д.б. непрер., т.к. часто уч-ся не вносят в таблички точки разрыва.

Уч-ся знакомят с исп. произв. в физ. з-чах и приближ. выч-х.

 

Интеграл.

Осн-й з-чей интегр-го исчисления в шк. явл. также знакомство с осн. методами интегр-го исчисления, использ-ми при нах. S, V пов-ти. Элементы инт-го исчисл. изуч. в шк. курсе в значит. меньшем объеме, чем произв.. Однако изуч-й мат-л вполне дает уч-ся предсе о рассм-х методах.

Изуч. нач-ся с рассм. понятия первообразная. При этом обращ. вним. на то, что з-ча нах. первообр-й явл. обратной по отн. к нах. произв-й, а также на неоднозначность решения з-чи на нах. первообр-й. С понятием неопред. ∫-ла уч-ся не знакомят, хотя и говорят им о мн-ве всех первообр-х для данной ф-и (опред. и термины не вводят).

∫f(x)dx=F(x)+C – неопред. ∫-л – мн-во первообр-х данной ф-и.

Для реш. конкрет. з-ч уч-ся знакомят только с первообр. для некот. ф-й, а также с некот-ми правилами вычисл. первообр-х. Осн. вним. уделяется изучению определенного ∫-ла. С уч-ся сначала рассм. понятие «криволин. трапеция». при этом рассм-и опред-я важно обратить вним. уч-ся на тот факт, что ф-я, огранич-я криволин. трап-й на отр. [а,b], д.б. непрер-й и не меняти знака на этом отрезке.

Здесь дети д.

понимать, что

S = S + S. Также

необх. обр. вним. уч-ся

на то, что речь идет о площади(>0), поэтому в дальнейшем при использ. опред-го ∫-ла само знач. ∫-ла м. получиться <0 (если ф-я под ОХ). В этом сл. учит-ся зн-е по модулю.

Для кривол. трап. док. Th: S = F(b)-F(a) (*)

Эта теорема дост. сложная, т.к. в →-се док-ва использ. алгоритм нахожд. произв. по опред-ю. После этого переходят к рассм-ю опред-го ∫-ла.: 1. [a,b] делится на отрезки. 2. Строим прямоуг-ки.3.Находим S, суммируем. 4. Переходим к пределу.

(Опред-е опред-го интеграла!)

Сопоставляя (*) и ↑, пол. ф-лу Н.-Л.:

После этого рассм. з-чи на выч. S, V тел вращ.