Матем-ие понятия, предложения и док-ва в школьном обучении.

Одна из основн-х целей обуч-я мат-ки: уч-ся должны овладеть опред-ой сис-ой понятий (матем-их). Когда мы говорим о понятиях, то связываем пр-сс формирования понятия с выделеним опред-х св-тв объекта, отличающих один объект от др. Пр-сс формир-ия понятий явл-ся одной из форм мышления (понитийное мышление). Пр-сс формир-ия понятия состоит из неск-х ступений: 1) ощущение; 2)представление;3) понятие (опред-е понятия). Последняя ступень явл. Наиболее важной и сложной. Все понятия, изучаемые в мат-ке раздел-ся на 2 группы: 1) неопред-е понятия,кот. кладутся в основу построения теории (точка, мн-во); 2) опред-е понятия. Одно и тоже понятие в разных теориях может быть опред-м, а может быть неопред-м. Напр-р, понятие прямой относ-ся к основн-м понятиям,однако в аксиоматике А.Д.Александрова прямая явл.опред-м понятием,а в качестве неопред-го понятия выбран отрезок. Неопред-х понятий обычно бывает небольшое кол-во. Все остальные понятия в аксиомат-ой теории должны быть определены. Неопред-е понятия только разъясн-ся на конкр-х примерах. Если понятие опред-ся, то выдел-т разл-ые виды опред-я понятий: 1) конструкт-ое опред.(3-х, 4-х угольн-к); 2) через род и видовое отличие (параллелог-м, ромб); 3)опред-ие через отрицание (||-е прямые). С каждым понятием связ-т содержат. понятие и объём понятия.В содержат. понятие входят все св-ва содержания понятия: параллелограмм-противопол-е стороны ||-ны и равны,углы равны. Объём понятия - это все объекты, кот. обладают св-ми, указан-ми в содержании. Сущест-т зав-ть между объёмом и содержанием понятия. Если мы в содерж-ие понятия добавляем св-ва (диагонали вз. перпендик-ны), то объём понятия сужается (ромб и квадрат). Очень важным явл-ся пр-сс подведения объекта под понятие. Этот пр-сс явл-ся формальным. И если объект, удовл-т харак-им св-ам понят., то он под это понят. подвод-ся (фигурой наз. любое мн. точек). Исходя из этого пустое мн-во тоже явл-ся фигурой. При изучении понят. может осущ-ся классификация понят. При этом необход.выбрать один или нес-ко признаков классифик-ии и каждый объект по этим признакам может попадать только в одну группу. При этом одни и те же объекты могут быть разклассифицир-ны по разным признакам. Для треуг-ов: по сторонам и по углам.В мышлении понятия не сущ-т как разрозненные отдельн.объекты. Все они опред. образом связаны. Большую роль в пр-се формир. понятия имеет речевое и символич их выражение. Суждения. В кажд. суждении устанавл-ся опред. связь между понятиями. Суждения явл. Не просто опред-ми предлож-ми. Предложение явл. суждением, если о нём можно сказать истино оно или ложно. Т.о суждение -эта такая форма мышления, в кот.отраж-ся наличие или отсутств-е самого объекта, т.е.наличие или отсутств-е к.-л. признаков или связей рассм-го объекта. Мыслит-е пр-сы связаны с формир-м суждений. Суждение в мыслит-м пр-се образ-ся 2-мя способами: непосредственно и опосредованно. Если суждение образ-ся непосредственно, то оно явл. результатом восприятия. Если суждение возникает в рез-те более сложных мыслит-х операций (умозаключение), то в этом случае возникает опосредованное умозаключение. Важнейшими видами мат-х суждений явл. аксиомы и теоремы. Аксиомы-это опред-ие суждения, принимаемые без док-тв, кот. характер-т основн. св-ва основных понятий в мат-ой теории или отношений между основн-ми поятиями.Сист. акс-м:незав-ма-1 нельзя вывести из остальных;непротивореч-ть-нельзя док-ть 2 вз/исключ-х Th;полнота-м/док-ть или опровергнуть люб. Th.Постулаты-нек-е требов-я, предьявляемые к понятиям или отношениям. Лемма. Теорема-предлож-е,истин-ть к-го устанавл-ся в пр-се док-ва. p=>q-прямая;q=>p-обр-я;не p=>не q-противоп-ая;не q=>не p-обр к противоп-й. Сущ-т разл-ые способы док-ва тоерем. Наиболее распостр-ми явл. 1) дедуктивный м-д; 2) метод от противного: предполаг-ся противное умозакл-ю и в пр-се док-ва прходят к противоречию с условием ранее доказ-ой теоремой,определеним,аксиомой. При док-ве методом от противного необходимо чётко выделять в противоречие с чем пришли в рез-те док-ва; 3) м-д полной индукции,когда в пр-се док-ва рассм-ся всевозможные случаи (теорема об измерении вписан-го угла); 4)специфич-м явл. док-во методом мат.индукции.