Для обучающихся по проведению

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ПРОВЕДЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

для специальности

210414 «Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям)»

140448 «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)»

 

Учебная дисциплина

«МАТЕМАТИКА»

 

 

Смоленск

Г.

 

Рассмотрено и одобрено

ЦМК общеобразовательных дисциплин

Предс. ЦМК

____________ /Воронова Ю.А./

Протокол №______

«___»___________20__г.

 

 

Составитель: Полякова Л.П., преподаватель ОГБОУ СПО «Смоленский политехнический колледж»

 

Рецензент: Елисеев Ю. Г., директор ОГБОУ СПО «Смоленский политехнический колледж»

 

Методические указания для обучающихся по проведению практических занятий являются частью основной профессиональной образовательной программы ОГБОУ СПО «Смоленский политехнический колледж» по специальностям 210414 «Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям)» в соответствии с требованиями федеральных государственных образовательных стандартах третьего поколения (далее – ФГОС).

Методические указания для обучающихся по проведению практических занятий включают в себя предисловие, цели работы, пояснения к работе, задание, порядок иобразец отчёта, контрольные вопросы, литературу, приложения.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Номер, название практических занятий	Страницы
Практическое занятие №1 «Действия над комплексными числами вразличных формах »
Практическое занятие №2 «Вычисление пределов функций с использованием первого и второго замечательных пределов»
Практическое занятие №3 «Вычисление производной сложной функции»
Практическое занятие №4 «Решение прикладных задач»
Практическое занятие №5 «Интегрирование простейших функций. Вычисление простейших определенных интегралов»
Практическое занятие №6 «Приложение неопределённых и определенных интегралов»
Практическое занятие №7 «Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных дифференциальных уравнений первого порядка»
Практическое занятие № 8«Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка, линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами»
Практическое занятие №9 «Решение прикладных задач»
Практическое занятие №10 «Определение сходимости числовых и функциональных рядов»
Практическое занятие №11 «Разложение элементарных функций в ряд Маклорена и в ряд Фурье»
Практическое занятие №12 «Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей»
Практическое занятие№13 «По заданному условию построитьзакон распределения дискретной случайной величины. Нахождение математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения дискретной случайной величины, заданной законом распределения.»
Практическое занятие №14 «Построение полигона и гистограммы статистического распределения. Вычисление характеристик распределения»
Практическое занятие №15 «Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера»
Практическая работа №16 «Решение систем линейных алгебраических уравнений на ЭВМ»

ПРЕДИСЛОВИЕ

УВАЖАЕМЫЕ СТУДЕНТЫ!

Методические указания для обучающихся по проведению практических занятий по учебной дисциплине «Математика» созданы вам в помощь для работы на занятиях, правильного составления отчётов. Приступая к выполнению задания, вы должны внимательно прочитать цели, ознакомиться с пояснениями к работе, содержащими краткие теоретические сведения по теме работы и методические рекомендации, ответить на контрольные вопросы.

Практическое занятие содержит задание, состоящее из шести вариантов, включающих задачи, соответствующиеуказаннымв ФГОСтребованиям к уровню вашей подготовки. Выполнять задание, делать выводы по проделанной работе вы должны согласно инструкции преподавателя.

Отчёт о работе вы должны оформить по приведённому образцу.

Наличие положительных оценок по практическим занятиям необходимо для допуска к экзамену по учебной дисциплине «Математика.». В случае отсутствия на учебном занятии по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическое занятиевы должны выполнить работу или пересдать.

ВНИМАНИЕ! В результате выполнения заданий практических занятий по УД «Математика» вы освоите умения

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности,

на основе знаний:

– значения математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

- основных математических методов решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

- основных понятий и методов математического анализа, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

- основ интегрального и дифференциального исчисления.

Желаем вам успехов!

Практическое занятие № 1

Действия над комплексными числами вразличных формах

Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь выполнять действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, уметь переходить от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической, показательной и обратно.

 

Пояснения к работе

Комплексными числами называют числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, а число i, определяемое равенством , называется мнимой единицей; а называют действительной частью комплексного числа, b – его мнимой частью.

Модулем комплексного числа называют число . Модуль комплексного числа – неотрицательное действительное число, причем тогда и только тогда, когда .

Угол φ между положительным направлением оси Ох и вектором , называют аргументом комплексного числа . Для числа аргумент не определен.

Введение мнимой единицы позволило вычислять корень квадратный из отрицательного числа. Так , так как . Значит можно решить квадратное уравнение, которое имеет отрицательный дискриминант.

Рассмотрим решение квадратное уравнение , , , . Ответ: .

Запись комплексного числа z = a + bi называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа: , п оказательная форма записи комплексного числа: , аналогично, , φ – одно из значений аргумента.

Для представления комплексного числа в тригонометрической или показательной форме надо: 1) найти модуль этого числа ; 2) одно из значений аргумента φ.

Знаки действительной и мнимой части комплексного числа	Четверть, в которой находится данное комплексное число	Значение аргумента данного комплексного числа
,
		или
,	Число лежит на положительной части оси абсцисс
,	Число лежит на отрицательной части оси абсцисс
	Число лежит на положительной части оси ординат
	Число лежит на отрицательной части оси ординат

Представить в тригонометрической и показательной форме числа:

1) . Решение: , . Значит, . Найдем . Поскольку , т. к. и , то . Поэтому, – тригонометрическаяформа комплексного числа, – показательная форма комплексного числа.

Для того, чтобы сложить или вычесть комплексные числа надо раскрыть скобки и привести подобные,например: (-2+3 i) + (5+2 i) = (-2+5)+(3+2) i = 3+5 i. 2. (-2+3 i) - (5+2 i) = (-2-5)+(3-2) i = -7+ i.

Можно произвести умножение по правилу умножения многочленов, учесть, что , и привести подобные члены. Так .

Деление можно выполнить умножив числитель и знаменатель на число сопряженное знаменателю, например: .

Произведение сопряженных комплексных чисел – число действительное и неотрицательное, равное сумме квадратов действительной и мнимой части числа .

Умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня удобно выполнять в тригонометрической или показательной формах.

Дано: два комплексных числа и	Тригонометрическая форма	Показательная форма
Произведение чисел
Частное чисел
Возведение в степень
Извлечение корня	, где k = 0,1,…, n -1	, где k = 0,1,…, n -1

Задание

Вариант 1

Задача 1. Найдите корни уравнения и изобразите их на комплексной плоскости:

Задача 2.Выполните действия над комплексными числами: а) ; б) ; в) .

Вариант 2

Задача 1. Найдите корни уравнения и изобразите их на комплексной плоскости:

Задача 2.Выполните действия над комплексными числами: а) ; б) ; в) .

Вариант 3

Задача 1. Найдите корни уравнения и изобразите их на комплексной плоскости:

Задача 2.Выполните действия над комплексными числами, в пункте в ответ запишите в алгебраической, тригонометрической и показательной формах: а) ; б) ; в) ; г) .

Вариант 4

Задача 1. Найдите корни уравнения и изобразите их на комплексной плоскости:

Задача 2.Выполните действия над комплексными числами, в пункте в ответ запишите в алгебраической, тригонометрической и показательной формах: а) ; б) ; в) ; г) .

Вариант 5

Задача 1. Найдите корни уравнения и изобразите их на комплексной плоскости:

Задача 2.Выполните действия над комплексными числами, в пункте в ответ запишите в алгебраической, тригонометрической и показательной формах: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Вариант 6

Задача 1. Найдите корни уравнения и изобразите их на комплексной плоскости:

Задача 2.Выполните действия над комплексными числами, в пункте в ответ запишите в алгебраической, тригонометрической и показательной формах: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

- название темы практического занятия;

- цели практического занятия;

- условие задачи;

- подробное решение задачи;

- ответ.

Контрольные вопросы

1. Могут ли числа, и быть корнями какого-нибудь квадратного уравнения с действительными коэффициентами?

2. Как умножают, делят, возводят в степень, извлекают корни из комплексных чисел, записанных в алгебраической, тригонометрической и показательной формах?

3. Какими формулами пользуются для перехода от одной формы комплексного числа к другой?

4. Укажите на комплексной плоскости точки, соответствующие числам .

 

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 229 – 242

2. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. – М.: «Наука» 1995. с. 78-117

 

Практическое занятие № 2

Пояснения к работе

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции ƒ(x) при , если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется такое δ > 0, что при . Запись .

Если предел функции в точке существует, то он единственный.

Аналогично, , если при .

Функцию называют бесконечно большой при , если .

Функцию называют бесконечно малой при , если .

Если функция ƒ(x) – бесконечно малая, то функция есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция ƒ(x) – бесконечно большая, то - бесконечно малая.

Теоремы о пределах.

Теорема 1. Пусть существуют, тогда ;

; .

Теорема 2. Предел многочлена в точке равен значению этого многочлена в точке , т. е. .

Вычислить пределы:

1. .

2. . Здесь пределы числителя и знаменателя равны 0, т. е. мы получили неопределенность . Разложим на множители числитель и знаменатель дроби. Числитель разложим на множители по формуле , где и корни уравнения . Знаменатель разложим на множители по формуле . .

3. . При числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, т. е. дана неопределенность . Раскрывают такую неопределенность делением числителя и знаменателя дроби на наибольшую степень переменной знаменателя, в данном случае на . .

Замечательные пределы позволяют раскрыть неопределенности и .

Первый замечательный предел: или .

Второй замечательный предел: или .

Вычислить пределы функций:

1. .

2. . Решение. Обозначим , тогда . Если , то , а значит .

.

3. Решение. Сделаем замену переменной, полагая , тогда при и . Следовательно, .

4. Решение. Обозначим , тогда . Если , то , а значит .

.

Здесь использовали свойство предела. «Пусть дана функция ƒ(φ(х)), причем функция ƒ - непрерывная на множестве значений функции у = φ(х), тогда ».

Задание.

Вариант 1.

Задача 1. Найдите пределы функций: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Примените замечательные пределы для нахождения пределов функций: а) ;

б) .

Вариант 2.

Задача 1. Найдите пределы функций: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Примените замечательные пределы для нахождения пределов функций: а) ; б) .

Вариант 3.

Задача 1. Найдите пределы функций: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Примените замечательные пределы для нахождения пределов функций: а) ; б) .

Вариант 4.

Задача 1. Найдите пределы функций: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Примените замечательные пределы для нахождения пределов функций: а) ; б) .

Вариант 5.

Задача 1. Найдите пределы функций: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Примените замечательные пределы для нахождения пределов функций: а) ; б) .

Вариант 6.

Задача 1. Найдите пределы функций: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Примените замечательные пределы для нахождения пределов функций: а) ; б) .

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

- название темы практического занятия;

- цели практического занятия;

- условие задачи;

- подробное решение задачи;

- ответ.

Контрольные вопросы

1. Какая существует связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями?

2. Как раскрывают неопределенности ?

3. Какими теоремами о пределах вы пользовались при вычислении пределов?

4. Какие неопределенности помогают раскрыть замечательные пределы?

 

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 75 – 83.

2. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс» 2011.- с. 73 – 85.

Практическое занятие № 3

Пояснения к работе

Производной функции в точке называется предел отношения приращения к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю: .

Функция , имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Основные правила дифференцирования:

Пусть U=U(x) и V=V(x) – функции, имеющие производные.

Формулы дифференцирования:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. .

Производная сложной функции:

Пример 1. Найти производные функций: 1) , 2) , 3) , 4 ) , 6) , 7) , 8) .

Решение. 1) . При вычислении производной перешли от корня к степени с рациональным показателем , затем использовали правилом 5 и 1 формулой дифференцирования.

2) . При вычислении производной пользовались правилами 1, 3, 5 и 1 формулой дифференцирования.

3) . При вычислении производной пользовались правилом вычисления производной сложной функции и правилами 1, 3, 5, а также 1 формулой дифференцирования.

4) . При вычислении производной пользовались правилом вычисления производной сложной функции и правилами 1, 3, а также формулами дифференцирования 1 и 14.

5) . При вычислении производной пользовались правилом вычисления производной сложной функции и правилом 3 и 9 формулой дифференцирования.

6) . При вычислении производной пользовались правилом вычисления производной сложной функции, 4 и 1 формулами дифференцирования. При упрощении результата пользовались формулой двойного аргумента .

Задание

Вариант 1

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , ;

Вариант 2

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , .

Вариант 3

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , .

Вариант 4

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , .

Вариант 5

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , .

Вариант 6

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , .

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

- название темы практического занятия;

- цели практического занятия;

- условие задачи;

- подробное решение задачи;

- ответ.

Контрольные вопросы

1. Как вычисляют производную сложной функции?

2. Какими правилами дифференцирования вы пользовались при нахождении производных функций?

3. Какими формулами дифференцирования вы пользовались при нахождении производных функций?

4. Как называют операцию нахождения производной функции?

 

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 94 – 100.

2. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс» 2011.- с. 98 – 104.

Практическое занятие № 4

Решение прикладных задач

Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь применять знания физического смысла производной к решению практических задач и исследовать функции на монотонность, экстремумы.

Пояснения к работе

Задание

Вариант 1

Задача 1. Изменение силы тока в зависимости от времени дано уравнением А/с. Найти скорость изменения силы тока в конце десятой секунды.

Задача 2. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Вариант 2

Задача 1. Изменение силы тока в зависимости от времени дано уравнением А/с. Найти скорость изменения силы тока в конце шестой секунды.

Задача 2. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Вариант 3

Задача 1. Закон изменения температуры Т в зависимости от времени задан уравнением . С какой скоростью нагревается это тело в момент времени ?

Задача 2. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Вариант 4

Задача 1. Закон изменения температуры Т в зависимости от времени задан уравнением . С какой скоростью нагревается это тело в момент времени ?

Задача 2. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы

Вариант 5

Задача 1. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону . Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения.

Задача 2. К источнику постоянного тока с электродвижущейся силой Е и внутренним сопротивлением подключеновнешнее сопротивление . При каком мощность, выделяемая во внешней цепи, будет максимальной, если и ? Построить график мощности.

Вариант 6

Задача 1. Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону . Найти кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.

Задача 2. Из N одинаковых элементов можно различными способами составить батарею, соединяя n элементов последовательно, а затем полученные группы (числом ) – параллельно. Определить при каком значении n батарея даст наибольший ток, если электродвижущая сила одного элемента Е, внутреннее сопротивление