Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс», 2011.- с. 287 – 307.

3. Турецкий В.Я. Математика и информатика. – М.: ИНФРА-М, 2000.-с.268 – 323.

Практическое занятие № 13

Построение закона распределения дискретной случайной величины и вычисление её числовых характеристик.

Цель: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь составлять закон распределения случайной величины по условию задачи и находить математическое ожидание случайной величины, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Пояснения к работе

Случайными называют величины, которые в результате испытания могут принимать одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин, которые учесть нельзя. Обозначают СВ – Х, Y, Z.

Дискретной называют случайную величину, которая может принимать конечное или бесконечное, но счетное, число значений.Закон распределения СВ – это соответствие между возможными значениями СВ и их вероятностями.

 

Способы задания закона распределения СВ

 

Табличный Таблица, первая строка которой содержит возможные значения СВ, а вторая – их вероятности.

Графический Линия, координаты точек которой соответственно равны значениям СВ и их вероятностям. Для ДСВ – ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами .

Пример. В партии из 8 деталей 5 стандартных. Наудачу взяты 4 детали. Построить ряд распределения числа стандартных деталей среди отобранных, построить многоугольник распределения вероятностей, задать функцию распределения, построить ее график.

Решение.

 

Х
Р

 

Математическим ожиданием М(х) ДСВХ называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: . Вероятностный смысл математического ожидания - математическое ожидание – центр распределения.

Дисперсией ДСВХ называют математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания М(х) . Вероятностный смысл дисперсии: дисперсия СВ – характеристика отклонения (рассеяния) значений данной величины от центра.

Средним квадратическим отклонением СВХ называют квадратный корень из ее дисперсии . Среднее квадратическое отклонение СВ – характеристика рассеяния значений данной величины от центра.

Пример. ДСВХ задана законом распределения:

Х 2 3 5

Р 0,1 0,4 0,5

Найти математическое ожидание случайной величины Х.

Решение. М(Х) =2∙0,1 + 3∙0,4 + 5∙0,5 = 3,9.

Ответ: 3,9.

Пример. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВ Х, которая задана законом распределения:

Х 2 3 5

Р 0,1 0,6 0,3

Решение. М(Х) = 2∙0,1 + 3∙0,6 + 5∙0,3 = 3,5. М(Х²) = 4∙0,1 + 9∙0,6 + 25∙0,3 = 13,3. D(X) = 13,3 – (3,5)² = 1,05. Ответ: 1,05; 1,02.

Задание

Вариант 1

1. ДСВ задана законом распределения

Х 6 3 1

Р 0,2 0,3 0,5.

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

2. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,3. Найти числовые характеристики числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 3 деталей.

Вариант 2

1. ДСВ задана законом распределения

Х 2 3 5

Р 0,1 0,4 0,5.

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

2. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,2. Найти числовые характеристики числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 3 деталей.

Вариант 3

1. ДСВ задана законом распределения

Х 1 2 4

Р 0,1 0,3 0,6.

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

2. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,1. Найти числовые характеристики числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 4 деталей.

Вариант 4

1. ДСВ задана законом распределения

Х 2 4 8

Р 0,1 0,5 0,4.

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

2. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,1. Найти числовые характеристики числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 4 деталей.

Вариант 5.

1. ДСВ задана законом распределения

Х 2 10 20 30

Р 0,2 0,3 0,3 0,2.

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

1. В партии из 6 деталей имеется 3 окрашеных. Наудачу отобраны 3 детали. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины Х – числа окрашенных деталей среди отобранных.

Вариант 6.

1. ДСВ задана законом распределения

Х 2 4 8 10

Р 0,1 0,3 0,4 0,2.

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

2. 2. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины

Х – числа нестандартных деталей среди отобранных.

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

- название темы практического занятия;

- цели практического занятия;

- условие задачи;

- подробное решение задачи;

- ответ.

Контрольные вопросы

1. Как вычисляют математическое ожидание случайной величины?

2. В чем заключается вероятностный смысл математического ожидания?

3. Как вычисляют дисперсию случайной величины?

4. В чем заключается вероятностный смысл дисперсии?

5. Как вычисляют среднее квадратическое отклонение случайной величины?

6. В чем заключается вероятностный смысл среднего квадратического отклонения?

 

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа», 2002.- с. 260 – 267.