Вычисление производной сложной функции

Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь применять правила дифференцирования и формулы дифференцирования основных элементарных функций для вычисления производных сложных функций.

 

Пояснения к работе

Производной функции в точке называется предел отношения приращения к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю: .

Функция , имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Основные правила дифференцирования:

Пусть U=U(x) и V=V(x) – функции, имеющие производные.

Формулы дифференцирования:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. .

Производная сложной функции:

Пример 1. Найти производные функций: 1) , 2) , 3) , 4 ) , 6) , 7) , 8) .

Решение. 1) . При вычислении производной перешли от корня к степени с рациональным показателем , затем использовали правилом 5 и 1 формулой дифференцирования.

2) . При вычислении производной пользовались правилами 1, 3, 5 и 1 формулой дифференцирования.

3) . При вычислении производной пользовались правилом вычисления производной сложной функции и правилами 1, 3, 5, а также 1 формулой дифференцирования.

4) . При вычислении производной пользовались правилом вычисления производной сложной функции и правилами 1, 3, а также формулами дифференцирования 1 и 14.

5) . При вычислении производной пользовались правилом вычисления производной сложной функции и правилом 3 и 9 формулой дифференцирования.

6) . При вычислении производной пользовались правилом вычисления производной сложной функции, 4 и 1 формулами дифференцирования. При упрощении результата пользовались формулой двойного аргумента .

Задание

Вариант 1

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , ;

Вариант 2

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , .

Вариант 3

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , .

Вариант 4

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , .

Вариант 5

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , .

Вариант 6

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , .

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

- название темы практического занятия;

- цели практического занятия;

- условие задачи;

- подробное решение задачи;

- ответ.

Контрольные вопросы

1. Как вычисляют производную сложной функции?

2. Какими правилами дифференцирования вы пользовались при нахождении производных функций?

3. Какими формулами дифференцирования вы пользовались при нахождении производных функций?

4. Как называют операцию нахождения производной функции?

 

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 94 – 100.

2. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс» 2011.- с. 98 – 104.

Практическое занятие № 4

Решение прикладных задач

Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь применять знания физического смысла производной к решению практических задач и исследовать функции на монотонность, экстремумы.

Пояснения к работе