Интегрирование простейших функций. Вычисление простейших определенных интегралов.

Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь применять свойства неопределенных и определенных интегралов, формулы интегрирования для нахождения неопределенных интегралов и вычисления определенных интегралов.

 

Пояснения к работе

Неопределенный интеграл

Функция называется первообразной для функции в промежутке , если в любой точке этого промежутка её производная равна : .

Отыскание первообразной функции по заданной её производной есть действие, обратное дифференцированию, - интегрирование.

Совокупность первообразных для функции называют неопределенным интегралом и обозначают символом . Таким образом, . Здесь - подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; С – произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. .

2. ; .

3. .

4. .

Основные формулы интегрирования

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. .

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов, свойств интегралов. Не всегда сразу можно применить таблицу интегралов, часто вначале для данной подынтегральной функции применяют элементарные тождественные преобразования, затем применяют свойства интегралов и только потом табличные интегралы.

Например,

Замена переменной.

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла в интеграл , который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования. Формула замены переменной имеет вид где .

Найти следующие интегралы.

1) .

2) .

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно, не производя подробного решения методом подстановки, использовать формулу . Например, , , .

Определенный интеграл.

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот отрезок на n частей точками . Выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку , и вычислим значение функции в точках – . Обозначим длину каждого элементарного отрезка через . Интегральной суммой для функции на отрезке называют сумму вида .

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [ a; в ] называют предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю

.

Если функция f(x) непрерывна на [ a;b ], то предел интегральной суммы всегда существует и не зависит от способа разбиения отрезка [ a;b ] на элементарные отрезки и от выбора точек .

Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствую первообразную данной функции , служит формула Ньютона - Лейбница , т. е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.