Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка и линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь приводить линейные дифференциальные уравнения первого порядка к уравнению с разделяющимися переменными; уметь составлять и решать характеристическое уравнение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и применять соответствующую формулу для нахождения общего решения дифференциального уравнения; находить частное решение.

Пояснения к работе

Уравнение вида или , где и – функции переменной х, называют линейным дифференциальные уравнения первого порядка. В частности и могут быть постоянными величинами.

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где и – новые функции от переменной .

Если выполнить подстановку , то и уравнение примет вид

Сгруппируем второе и третье слагаемые в левой части уравнения (*)

Найдем функцию из условия равенства нулю выражения .

. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные . Проинтегрируем обе части уравнения ; , где – первообразная функции . Значит, . Подставим найденную функцию в уравнение (*), получим уравнение . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные . Проинтегрируем обе части уравнения ; . Тогда искомая функция равна .

Найти частное решение уравнения: , если .

Решение: данное уравнение является линейным. Пусть , тогда и уравнение примет вид . Сгруппируем второе и третье слагаемые в левой части уравнения . (*)

Найдем функцию из условия равенства нулю выражения . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные . Проинтегрируем обе части уравнения ; , т. е. . Подставим найденную функцию в уравнение (*), получим уравнение .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные . Проинтегрируем обе части

уравнения ; . Тогда искомая функция равна – общее решение. Найдем частное решение, для чего найдем С. , . Значит, частное решение – .

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами называют уравнение вида или , где p и q – постоянные величины.

Для отыскания общего решения данного уравнения составляют характеристическое уравнение , которое получается из данного уравнения заменой , и на соответствующую степень переменной , причем сама функция заменяется единицей.

Общее решение данного уравнения строится в зависимости от корней характеристического уравнения. Возможны три случая:

1). Дискриминант уравнения положительный, т. е. характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня и . В этом случае общее решение уравнения имеет вид

2). Дискриминант уравнения равен нулю, т. е. характеристическое уравнение имеет два равных действительных корня = = . В этом случае общее решение уравнения имеет вид .

3). Дискриминант уравнения отрицательный, т. е. характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня и . В этом случае общее решение уравнения имеет вид .

Найти частное решение уравнения , если и при .

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни , , значит, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня: и . Общее решение уравнения имеет вид .

Для нахождения искомого частного решения нужно определить значения постоянных и . Найдем производную общего решения . Подставим начальные условия в общее решение и в его производную, получим систему уравнений: , , . Значит, по формулам Крамера , . Следовательно, частное решение имеет вид – .

Задание

Вариант 1

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 3, y′ = 0 при х = 0.

Вариант 2

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 4, y′ = 10 при х = 0.

Вариант 3

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y= 1 и y΄= 1 при х = 0.

Вариант 4

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y= 2 и y΄= 9 при х = 0.

Вариант 5

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 1 и y΄= 1 при х = 0.

Вариант 6

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y= 1 и y΄= 5 при х = 0.

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

- название темы практического занятия;

- цели практического занятия;

- условие задачи;

- подробное решение задачи;

- ответ.

Контрольные вопросы

1. Каков алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка?

2. Каков алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами?

3. Что является решением дифференциального решения?

4. Как находят частное решение дифференциального уравнения?

 

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 248 – 255

2. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс» 2011.- с. 167 – 174.

 

 

Практическое занятие № 9

Решение прикладных задач

Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь по условию задачи составлять дифференциальные уравнения, выбирать метод решения дифференциального решения, находить общее или частное решение.

Пояснения к работе

Дифференциальные уравнения относятся к классу функциональных, когда неизвестной является функция, причем в записи уравнения эта функция находится под знаком производной. Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, с их помощью можно описывать (моделировать, изучать) процессы. Производная некоторой функции есть скорость изменения этой функции. Поэтому дифференциальные уравнения могут моделировать химические реакции, рост растений, изменение численности бактерий и популяций животных, перетекание тепла, энергии и т.д.

Например, известный второй закон Ньютона фактически представляет дифференциальное уравнение второго порядка .

При решении практических задач составляют дифференциальное уравнение в котором связаны искомая функция, независимая переменная и производная этой функции. Которое решают одним из известных методом.

Например, скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура воздуха равна С. Известно, что в течении20 мин. Тело охлаждается от С до С. В течение какого времени тело охладится до температуры ?

Решение. Скорость охлаждения есть скорость изменения температуры со временем и поэтому выражается в виде производной , где через Т обозначена температура тела, а через t – время.

С другой стороны, на основании закона охлаждения, данного в задаче, скорость тела может быть представлена выражением , где k – коэффициент пропорциональности.

Приравнивая два выражения, определяющих скорость охлаждения тела, приходим к дифференциальному уравнению . Разделим переменные: . Интегрируя почленно, получаем: , или , , . Найдем значения С и k, мы знаем, что при t = 0 температура тела T = . Подставляя эти значения, получаем: , т. е. . Следовательно, . Нам известно, что в течение 20 мин. Тело охлаждается до , т.е. при температура . Имеем: , , , , , , т.е. , , .

Чтобы ответить на вопрос, поставленный в задаче, надо пользуясь найденной функцией, описывающей зависимость температуры тела от времени, надо найти t при Т = , т.е. решить уравнение: , , , . Ответ: 60 мин.

Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2; -1) и имеющей касательную с угловым коэффициентом .

Решение. Согласно условию, имеем , или . Проинтегрировав, получим , . С учетом начальных условий и , находим , С = – 7. Следовательно, уравнение кривой имеет вид . Ответ: .

Задание

Вариант 1

Задача 1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(1; 2) и имеющей угловой коэффициент в любой точке касания.

Задача 2. В воде с температурой С в течение 10 минут тело охлаждается от до С. До какой температуры охладится тело за 30 минут, если по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и окружающей среды?

 

Вариант 2

Задача 1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2; 1) и имеющей угловой коэффициент в любой точке касания.

Задача 2. Температура воздуха . Известно, что за 30 минут тело охладится от до С. Какой будет температура через час после первоначального измерения, если по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и окружающей среды?

 

Вариант 3

Задача 1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2; 1) и имеющей угловой коэффициент в любой точке касания.

Задача 2. Температура воздуха . Известно, что за 40 минут тело охладится от до С. Какой будет температура через 30 минут после первоначального измерения, если по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, когда температура тела станет равной ?

 

Вариант 4

Задача 1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2; 2) и имеющей угловой коэффициент в любой точке касания.

Задача 2. Вода в открытом резервуаре сначала имела температуру . Через 10 минут температура воды стала , температура окружающей среды С. Определите температуру воды в резервуаре через 30 минут от первоначального измерения, если по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, когда температура воды в резервуаре станет равной ?

 

Вариант 5

Задача 1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(0;1), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен произведению координат точки касания.

Задача 2. Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения, причем сила трения пропорциональна угловой скорости. Определите: скорость вращения диска в момент t = 120 с, если при t = 0 он вращался со скоростью 12 рад/с, а при t = 10 с его скорость стала 8 рад/с; момент времени, скорость диска окажется равной 1 рад/с.

Вариант 6

Задача 1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(1;2), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен .

Задача 2. Замедляющее трение на диск, вращающейся в жидкости, пропорционально угловой скорости. Определите: в какой момент времени скорость вращения диска окажется равной 2 рад/с, если при t = 0 он вращался со скоростью 20 рад/с, а при t = 8 с его скорость стала 16 рад/с; скорость вращения диска в момент времени t = 12 с.

 

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

- название темы практического занятия;

- цели практического занятия;

- условие задачи;

- подробное решение задачи;

- ответ.

Контрольные вопросы

1. Что является решением дифференциального уравнения?

2. В чем состоит задача Коши?

3. Объясните геометрический смысл общего решения дифференциального уравнения.

4. Объясните геометрический смысл частного решения.

 

Литература:

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 245 – 248.

4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс» 2011.- с. 174 – 179.

 

 

Практическое занятие № 10