Тема 5: Элементы теории вероятностей

Основной уровень

 

Задание 1. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное:

1.1 А = «день рождения моего друга – число, меньше, чем 32».

1.2 А = «на уроке математики ученики делали физические упражнения».

1.3 А = «на уроке математики ученики решали математические задачи».

1.4 А = «сборная России по футболу станет чемпионом мира в 2030 году».

1.5 А = «сборная России по хоккею станет чемпионом мира в 2030 году».

1.6 А = «из интервала (1; 2) наугад взяли какое-то число, оно оказалось натуральным».

1.7 А = «из отрезка [1; 2] наугад взяли какое-то число, оно оказалось натуральным».

1.8 А = «из отрезка [1; 2] наугад взяли какое-то число, оно оказалось рациональным».

1.9 А = «вверх подкинули монету, и она упала на землю «орлом»».

1.10 А = «вверх подкинули монету, и она упала на ровную землю, встав на ребро».

 

Задание 2. Решите задачу используя определение классической вероятности случайного события:

2.1 Случайным образом выбрали двузначное положительное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается нулем.

2.2 Случайным образом выбрали двузначное положительное число. Найдите вероятность того, что оно состоит из одинаковых цифр.

2.3 Случайным образом выбрали двузначное положительное число. Найдите вероятность того, что оно больше 27 и меньше 46.

2.4 Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно не является квадратом целого числа.

2.5 Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно является квадратом целого числа.

2.6 Двузначное число составили из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что это число четное?

2.7 Двузначное число составили из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что это число нечетное?

2.8 Двузначное число составили из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что это число делится на 5?

2.9 Двузначное число составили из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что это число делится на 4?

2.10 Двузначное число составили из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что это число делится на 10?

 

Задание 3. Решите задачу, используя понятие противоположных событий:

3.1. Случайным образом выбрали целое число из промежутка [100; 200). Найдите вероятность того, что оно не оканчивается нулем.

3.2. Случайным образом выбрали целое число из промежутка [100; 200). Найдите вероятность того, что среди его цифр есть хотя бы одна цифра больше 2.

3.3. Случайным образом выбрали целое число из промежутка [100; 200). Найдите вероятность того, что оно не является квадратом целого числа.

3.4. Случайным образом выбрали целое число из промежутка [100; 200). Найдите вероятность того, что сумма его цифр меньше 17.

3.5. Случайным образом выбрали целое число из промежутка [100; 200). Найдите вероятность того, что оно не оканчивается единицей.

3.6. Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что среди выпавших очков есть хотя бы одна единица.

3.7. Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков больше трех.

3.8. Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков меньше 11.

3.9. Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков меньше 27.

3.10. Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков меньше 15.

 

Задание 4. Решите задачу, используя теоремы сложения и умножения вероятностей:

4.1 В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете 3 билета. Найдите вероятность того, что есть хотя бы один выигрышный билет.

4.2 В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете 3 билета. Найдите вероятность того, что все билеты выигрышные.

4.3 В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете 3 билета. Найдите вероятность того, что есть ровно один проигрышный билет.

4.4 В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете 3 билета. Найдите вероятность того, что есть ровно два выигрышных билета.

4.5 Из колоды в 36 карт случайным образом одновременно вытаскивают 2 карты. Найдите вероятность того, что обе они черной масти.

4.6 Из колоды в 36 карт случайным образом одновременно вытаскивают 2 карты. Найдите вероятность того, что обе они пиковой масти.

4.7 Из колоды в 36 карт случайным образом одновременно вытаскивают 2 карты. Найдите вероятность того, что обе они трефовой масти.

4.8 Из колоды в 36 карт случайным образом одновременно вытаскивают 2 карты. Найдите вероятность того, что одна из них пиковой, а другая трефовой масти.

4.9 Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выиграют какие-то 6 чисел. Какова вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены 6 чисел, верно угадано 0 чисел?

4.10 Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выиграют какие-то 6 чисел. Какова вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены 6 чисел, верно угадано 1 число?

 

Задание 5. Решите задачу, используя понятие условной вероятности события:

5.1 Из колоды карт (36 карт) случайным образом поочередно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что обе карты – тузы черной масти.

5.2 Из колоды карт (36 карт) случайным образом поочередно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что вторая карта – пиковый туз, если первая карта – туз красной масти.

5.3 Из колоды карт (36 карт) случайным образом поочередно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что вторая карта – красной масти, если первая карта – туз красной масти.

5.4 Из колоды карт (36 карт) случайным образом поочередно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что вторым вынут бубновый туз, если первая карта – не бубновый туз.

5.5 В коробке «Ассорти» – 20 неразличимых по виду конфет, из которых 12 с шоколадной начинкой и 8 с фруктовой начинкой. Тане разрешили взять две конфеты. Какова.вероятность того, что конфеты – с разными начинками?

5.6 В коробке «Ассорти» – 20 неразличимых по виду конфет, из которых 12 с шоколадной начинкой и 8 с фруктовой начинкой. Тане разрешили взять две конфеты. Какова.вероятность того, что обе конфеты окажутся с любимой Таниной начинкой – шоколадной?

5.7 В коробке «Ассорти» – 20 неразличимых по виду конфет, из которых 12 с шоколадной начинкой и 8 с фруктовой начинкой. Тане разрешили взять две конфеты. Какова.вероятность того, что обе конфеты – с фруктовой начинкой?

5.8 В коробке «Ассорти» – 20 неразличимых по виду конфет, из которых 12 с шоколадной начинкой и 8 с фруктовой начинкой. Тане разрешили взять две конфеты. Какова.вероятность того, что первая конфета – с шоколадной начинкой, а вторая – с фруктовой?

5.9 В коробке «Ассорти» – 20 неразличимых по виду конфет, из которых 12 с шоколадной начинкой и 8 с фруктовой начинкой. Тане разрешили взять две конфеты. Какова.вероятность того, что первая конфета – с фруктовой начинкой, а вторая – с шоколадной?

5.10 Из колоды карт (36 карт) случайным образом поочередно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что вторым вынут бубновый валет, если первая карта – валет черной масти.

Повышенный уровень

Задание 1. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное.

1.1 Вы открыли эту книгу на любой странице и прочитали первое попавшееся существительное. Оказалось, что: а) в написании выбранного слова есть гласная буква; б) в написании выбранного слова есть буква «о»; в) в написании выбранного слова нет гласных букв; г) в написании выбранного слова есть мягкий знак.

1.2 Даны два интервала (0; 1) и (5; 10). Из первого интервала выбрали число а, из второго — число с. Оказалось, что: а) число а меньше числа с; б) число а больше числа с; в) число а + с принадлежит интервалу (5; 10); г) число а + с не принадлежит интервалу (5; 10).

1.3 В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Оказалось, что: а) из мешка вынули 4 шара, и все они синие; б) из мешка вынули 4 шара, и все они красные; в) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета; г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета.

1.4 В двух урнах находятся по пять шаров пяти различных цветов: белого, синего, красного, желтого, зеленого. Из каждой урны одновременно вынимают по одному шару. Оказалось, что: а) вынуты шары разного цвета; б) вынуты шары одного цвета; в) вынуты черный и белый шары; г) вынуты два шара, причем каждый оказался окрашенным в один из следующих цветов: белый, синий, красный, желтый, зеленый.

1.5 Вы открыли эту книгу на любой странице и прочитали первое попавшееся прилагательное. Оказалось, что: а) в написании выбранного слова есть гласная буква; б) в написании выбранного слова есть буква «о»; в) в написании выбранного слова нет гласных букв; г) в написании выбранного слова есть мягкий знак.

 

Задание 2. Решите задачу используя определение классической вероятности случайного события:

2.1 Из четырех тузов случайным образом одновременно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что обе карты – тузы черной масти.

2.2 Из четырех тузов случайным образом одновременно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что среди выбранных карт есть пиковый туз.

2.3 Из четырех тузов случайным образом одновременно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что среди выбранных карт есть туз красной масти.

2.4 Из четырех тузов случайным образом одновременно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что среди выбранных карт нет бубнового туза.

2.5 Из четырех тузов случайным образом одновременно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что среди выбранных карт есть бубновый туз.

 

Задание 3. Решите задачу, используя понятие противоположных событий:

3.1 Из костей домино случайно выбрали одну. Найдите вероятность того, что она не является дублем.

3.2 Из костей домино случайно выбрали одну. Найдите вероятность того, что на ней не выпала «тройка».

3.3 Из костей домино случайно выбрали одну. Найдите вероятность того, что на ней не выпала «двойка».

3.4 Из костей домино случайно выбрали одну. Найдите вероятность того, что произведение очков на ней меньше 29.

3.5 Из костей домино случайно выбрали одну. Найдите вероятность того, что модуль разности очков больше единицы.

 

Задание 4. Решите задачу, используя теоремы сложения и умножения вероятностей:

4.1 Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выиграют какие-то 6 чисел. Какова вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены 6 чисел, верно угаданы 2 числа?

4.2 Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выиграют какие-то 6 чисел. Какова вероятность того, что на карточке вы верно угадали хотя бы одно число?

4.3 Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выиграют какие-то 6 чисел. Какова вероятность того, что на карточке вы верно угадали не более одного числа?

4.4 Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выиграют какие-то 6 чисел. Какова вероятность того, что на карточке вы верно угадали не менее трех чисел?

4.5 Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выиграют какие-то 6 чисел. Какова вероятность того, что на карточке вы верно угадали 4, 5 или 6 чисел?

 

Задание 5. Решите задачу:

5.1 Из чисел 1, 2, 3, 4, 5 одновременно выбирают три. Найдите вероятность того, что: а) существует прямоугольный треугольник с такими сторонами; б) существует произвольный треугольник с такими сторонами; в) произведение этих чисел оканчивается на ноль; г) их сумма меньше 10.

5.2 Случайно нажимают три клавиши из одной октавы. Найдите вероятность того, что: а) звучат ноты «си» и «до»; б) не звучит нота «фа»; в) звучит нота «ля»; г) получится до-мажорное трезвучие.

5.3 На бильярдном столе – шары от № 1 до № 15 и еще шар «крест». Бить можно любым шаром по любому. Найдите вероятность того, что при случайном выборе: а) ударят шаром № 7 по какому-то другому шару; б) ударят по шару № 7 шаром с меньшим номером; в) ударят «крестом» по шару № 7; г) ударят «крестом» по шару с двузначным номером.

5.4 Вы находитесь в круглом зале с 10 дверьми, из которых какие-то 4 заперты. Вы случайным образом выбираете две двери. Найдите вероятность того, что: а) вы не сможете выйти из зала; б) вы можете выйти из зала, но вернуться через другую дверь уже не сможете; в) вы сможете выйти через одну, а вернуться в зал через другую; г) хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала.

5.5 Вы находитесь в круглом зале с 10 дверьми, из которых какие-то 5 заперты. Вы случайным образом выбираете три двери. Найдите вероятность того, что: а) вы не сможете выйти из зала; б) вы можете выйти из зала, но вернуться через другую дверь уже не сможете; в) вы сможете выйти через одну, а вернуться в зал через другую; г) хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала.